Экспоненциальное сглаживание.

Предположим, что временной ряд может быть представлен в виде:

где а - const; —случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым ма­тематическим ожиданием и дисперсией.

Модель экспоненциального сглаживания ряда описывается следую­щей рекуррентной формулой:

(5.8)

где S_t —значение экспоненциальной средней в момент;— параметр сглажива­ния,= const,0<< 1;= 1 -.

Если последовательно использовать соотношение (8.8), то экспоненциальную среднюю S_tможно выразить через предшествующие зна­чения уровней временного ряда:

(5.9)

где п —длина ряда;— начальное значение экспоненциальной средней.

Из (5.2) видно, что величина S_tоказывается взвешенной суммой всех членов ряда. Причем веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в прошлое соответственно экспоненциальной функции (в зависимости от «возраста» наблюдений). Именно поэтому модель (5.8) получила название модели экспоненциального сглаживания.

Например, пусть = 0,1. Тогда вес текущего наблюдения, будет равен= 0,1, вес предыдущего уровнябудет соответствовать= 0,1* 0,9 = 0,09; для уровнявес составит= 0,081; для—= 0,0729 и т. д.

При расчете экспоненциальной средней в момент времени tвсегда требуется значение экспоненциальной средней в предыдущий момент времени, поэтому на первом шаге должна быть определена некоторая

величина S₀,предшествующая.Часто на практике в качестве началь­ного значенияS₀используется среднее арифметическое значение из всех имеющихся уровней временного ряда или из какой-то их части. Из выражения (8.9) следует, что вес, приписываемый этому значению, уменьшается по экспоненциальной зависимости по мере удаления от первого уровня. Поэтому для длинных временных рядов влияние не­удачного выбораS₀погашается.

Рассмотрим выражение (8.9) при п. Очевидно, что, сле­довательно,

(5.10)

Автор модели Р. Браун показал, что математические ожидания вре­менного ряда и экспоненциальной средней совпадут, но в то же время дисперсия экспоненциальной средней D[S_t]будет меньше дисперсии временного ряда ().

Представим выражение (5.10) в следующем виде:

Отсюда очевидно, что математическое ожидание M(S_t) = a,так же как и математическое ожидание самого временного ряда.

Дисперсия экспоненциальной средней D[S_t]определяется выраже­нием:

Учитывая свойства можно записать:

Таким образом, (5.11)

Так как 0<<1, тоD[S_t]будет меньше дисперсии временного ряда.

Из (5.11) видно, что при высоком значении дисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии ряда. С уменьшениемдисперсия экспоненциальной средней сокращает­ся, возрастает ее отличие от дисперсии ряда. Тем самым экспоненци­альная средняя начинает играть роль «фильтра», поглощающего колеба­ния временного ряда.

Таким образом, с одной стороны, следует увеличивать вес более све­жих наблюдений, что может быть достигнуто повышением , с другой стороны, для сглаживания случайных отклонений величинунужно уменьшить. Эти два требования находятся в противоречии. Поиск ком­промиссного значения параметра сглаживанияс учетом специфики решаемой задачи составляет важную часть исследования.

ПРИМЕР 5.4

Требуется рассчитать экспоненциальную среднюю для временного ряда курса доллара США с 9 января 2013 г. по 6 февраля 2013 г. (табл. 5.5). В качестве начального зна­чения экспоненциальной средней возьмите среднее значение пяти первых уровней. Расчеты проведите для трех различных значений параметров адаптации: а) = 0,2; б)= 0,5; в)= 0,8.

Сравните графически исходный временной ряд и экспоненциально сглаженные временные ряды при различных значениях параметра адаптации. Укажите, какой вре­менной ряд носит более гладкий характер.

Решение.

Определим S₀=.

Найдем значения экспоненциальной средней при = 0,2.

Согласно (5.8)

Аналогичны вычисления для = 0,5 и= 0,8. Результаты расчетов экспоненци­ально сглаженных рядов при различных значениях параметров адаптации представ­лены в табл. 5.5.

Таблица 5.5

Экспоненциальные средние для временного курса доллара США

Дата	Порядковый номер уровня, t	Курс доллара США	Экспоненциальная средняя
09.01.2013	1	30,3727	30,3423	30,3537	30,3651
10.01.2013	2	30,4215	30,3582	30,3876	30,4102
11.01.2013	3	30,3650	30,3595	30,3763	30,3740
14.01.2013	4	30,2537	30,3384	30,3150	30,2778
15.01.2013	5	30,2607	30,3228	30,2879	30,2641
16.01.2013	6	30,2556	30,3094	30,2717	30,2573
17.01.2013	7	30,3399	30,3155	30,3058	30,3234
18.01.2013	8	30,3431	30,321	30,3245	30,3392
21.01.2013	9	30,2065	30,2981	30,2655	30,2330
22.01.2013	10	30,2970	30,2979	30,2812	30,2842
23.01.2013	11	30,1950	30,2773	30,2381	30,2128
24.01.2013	12	30,2292	30,2677	30,2337	30,2259
25.01.2013	13	30,1648	30,2471	30,1992	30,1770
28.01.2013	14	30,0451	30,2067	30,1222	30,0715
29.01.2013	15	30,0782	30,181	30,1002	30,0769
30.01.2013	16	30,1513	30,1751	30,1257	30,1364
31.01.2013	17	30,0277	30,1456	30,0767	30,0494
01.02.2013	18	30,0161	30,1197	30,0464	30,0228
04.02.2013	19	29,9966	30,0951	30,0215	30,0018
05.02.2013	20	29,9251	30,0611	29,9733	29,9404
06.02.2013	21	30,1231	30,0735	30,0482	30,0866

На рис. 5.6 наглядно проявляется влияние значения параметра адаптации на ха­рактер сглаженного ряда. При = 0,2 экспоненциальная средняя носит более глад­кий характер, так как в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.

Рис.5.6. Экспоненциальное сглаживание временного ряда курса доллара США при различных значениях параметра адаптации

Выражение (5.8) можно представить по-другому, перегруппировав члены:

Величину (у _t - S_t-1)можно рассматривать как погрешность прогно­за. Тогда новый прогнозполучается в результате корректировки пре­дыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит адаптация модели.

При краткосрочном прогнозировании желательно как можно быст­рее отразить изменения ряда и в то же время очистить ряд, отфильтровав случайные колебания. Для этого величине следует присвоить одно из промежуточных значений в интервале от 0 до 1. Если в результате экс­периментальных расчетов получено наилучшее значение, близкое к 1, то целесообразно проверить правомерность выбора модели данного ти­па. Р. Браун рекомендовал брать значенияв пределах 0,1—0,3.

Иногда поиск этого значения параметра осуществляется путем пере­бора на сетке значений. В этом случае в качестве оптимального выбира­ется то значение а, при котором получена наименьшая дисперсия ошибки.

Следует отметить, что выбор значения параметра должен зависеть от периода упреждения прогноза. Для оперативных, конъюнктурных прогнозов в большей степени должна учитываться свежая информация, поэтому значениеследует брать большим. При увеличении срока про­гнозирования более поздняя информация, последние данные должны иметь несколько меньший вес, конъюнктурные колебания должны быть сглажены, но прошлые уровни — учтены. Для этих целей значениеследует уменьшить.

Таким образом, экспоненциальное сглаживание является примером самообучающейся модели. К ее безусловным достоинствам относится чрезвычайная простота вычислений, выполняемых итеративно, причем массив прошлой информации уменьшен до единственного значения.