Модели авторегрессии

Преобразование Койка сворачивает модель с распределенными лагами к модели авторегрессии, т.е. к модели, в правой части которой используется лаговая зависимая переменная. Это не единственный вид авторегрессионных моделей. Но все же достаточно распространенный:

(5.51) Между тем интерпретация параметров данной модели имеет свою специфику, что и будет рассмотрено ниже.

Интерпретация параметров модели авторегрессии

Для модели (5.51), как и в модели с распределенными лагами, параметр характеризует краткосрочное изменениеу, под воздействием измененияна одну единицу. Параметрпо существу представляет собой величину λ из преобразования Койка, т.е., и показывает коэффициент снижения лаговых коэффициентов при увеличении величины лага в соответствии с концепцией их геометрического убывания. Следовательно, к моменту времени (t+ 1) результатуизменится дополнительно на, а к моменту времени (t+2) дополнительное изменениеусоставитединиц, к моменту времени (t +3) —единиц и т.д. Соответственно долгосрочный мультипликатор окажется равным

(в предположении бесконечного числа лагов).

С учетом геометрической прогрессии лаговых коэффициентов величина долгосрочного мультипликатора составит

Предположим, что по региону по данным временных рядов построена модель авторегрессии, описывающая зависимость сбережений на душу населения за год (— в тыс. ден. ед.) от среднедушевого совокупного годового дохода (— в тыс. ден. ед.) и сбережений предшествующего года ())

.

Уравнение показывает, что краткосрочное изменение размера сбережений с ростом дохода на 1 тыс. ден. ед. составляет в том же году 0,24 тыс. ден. ед.Через год рост дохода на 1 тыс. ден. ед. увеличит размер сбережений на 0,276 тыс. ден. ед. (0,24 + 0,24 0,15), т.е. дополнительно за год прирост составит 0,036 тыс. ден. ед. В дальнейшем величина дополнительного прироста будет убывать. Долгосрочный мультипликатор окажется равным 0,282 тыс. ден. ед. (0,24/0,85). Его величина характеризует прирост сбережений в долгосрочной перспективе с ростом дохода на 1 тыс. ден. ед.

Инструментальные переменные как метод оценивания параметров модели авторегрессии

В силу того, что в модели авторегрессии в правой части содержатся лаговые эндогенные переменные, принято считать, что оценка параметров традиционным МНК дает неудовлетворительные результаты.

Предположим, что рассматривается модель авторегрессии вида (5.51).

Применение для оценивания параметров это уравнения традиционного МНК возможно, если выполняется предпосылка МНК относительно отсутствия автокорреляции остатков. Между тем при наличии в правой части лаговой зависимой переменной может иметь место автокорреляция остатков. Кроме того, может иметь место и зависимость объясняющей переменной с остаткамит.е. нарушается предпосылка о гомоскедастичности остатков. В силу этого классический МНК в случае малых выборок даст смещенные оценки параметров.

Одним из возможных методов оценивания параметров модели (5.51) является метод инструментальных переменных. Суть метода состоит в том, что вместо лаговой зависимой переменной для которой нарушается предпосылка МНК, используется другая переменная z, называемая инструментальной. При этом инструментальная переменная должна обладать двумя свойствами:

— она должна быть тесно коррелирована с лаговой переменной ;

— она не должна коррелировать с остатками (случайными ошибками).

Иными словами, от модели авторегрессии (5.51) необходимо перейти к модели вида

(5.52)

Результаты регрессии по модели (5.52), естественно, зависят от того, насколько удачно подобрана инструментальная переменная. В качестве инструментальной переменной можно, например, взять оценку , т.е., полученную по регрессииот.

Поскольку в модели (5.52) предполагается наличие зависимости от, то можно предположить, что также имеет место зависимостьот, т.е. найдем регрессию

(5.53)

Используя для оценки параметров уравнения (5.53) обычный МНК, что возможно ввиду отсутствия в правой части модели лаговой зависимой переменной, найдем теоретические значения , которые и будут рассматриваться как значения инструментальной переменнойzв модели (5.52). Далее вновь применяем МНК уже к модели (5.52), т.е. по существу оценка параметров модели авторегрессии (5.51) будет найдена исходя из модели вида

(5.54)

Если вместо оценки подставить выражение (5.53), то получим следующую модель:

(5.55)

Она представляет собой модель с распределенным лагом, оценка параметров которой может быть дана МНК.

Таким образом, используя в качестве инструментальной переменной оценки исходя из регрессии от(5.53), модель авторегрессии (5.51 заменяют на модель с распределенным лагом (5.55).

Вместе с тем следует отметить, что применение рассмотренной инструментальной переменной может привести при практической реализации модели (5.51) к появлению коллинеарности факторов. Объясняется это тем, что в модель (5.51) одновременно вводятся в качестве объясняющих переменных линейно связанные и высококоррелируемые между собой и, ибои, а соответственно ибудет близок к единице. Однакоесли коллинеарность факторов не повлекла за собой неверные знаки у коэффициентов регрессии и не привела к большим стандартным ошибкам оценок, то применение инструментальной переменной можно считать возможным.

Пример 5.7

Применим метод инструментальных переменных к модели авторегрессии (5.51) по данным фирмы об импорте сырья (у — в т) товара и величине производства (х — в тыс. ед.) за январь — декабрь 2008—2009 гг.

Годы	t	y(t)	x(t)	y(t-1)	x(t-1)
2008	1	164	78
	2	162	81	164	78
	3	165	89	162	81
	4	168	76	165	89
	5	172	105	168	76
	6	177	101	172	105
	7	182	93	177	101
	8	186	94	182	93
	9	187	107	186	94
	10	191	103	187	107
	11	196	116	191	103
	12	201	170	196	116
2009	13	213	101	201	170
	14	211	110	213	101
	15	219	138	211	110
	16	228	145	219	138
	17	232	180	228	145
	18	239	165	232	180
	19	244	144	239	165
	20	249	130	244	144
	21	255	155	249	130
	22	264	142	255	155
	23	265	151	264	142
	24	267	305	265	151

Рассмотрим модель (5.51). Для оценивания параметров этой модели введем инструментальную переменную . Используя МНК, получим уравнение регрессии

Уравнение регрессии значимо, как и его параметры. Далее вновь применяем МНК к модели (5.51), в которой вместо фактических значений у используется его предсказанное значение. Результаты оказались следующими:

Уравнение авторегрессии в целом значимо, значимыми являются и коэффициенты регрессии.

Если к модели (5.51) сразу же применить МНК, т.е. без введения инструментальной переменной, то результаты окажутся следующими:

Хотя коэффициент детерминации для модели, оцененной по обычному МНК, выше, чем для модели с инструментальной переменной, но коэффициент регрессии при не только статистически не значим, но и имеет неверный знак, ибо увеличение объема продукции, на производство которой требуется ввоз сырья, ведет к росту величины импорта, что и показывает модель авторегрессии, оцененная с помощью метода инструментальных переменных.