Метод Койка

Для модели с бесконечным числом лаговых значений объясняющей переменной

(5.43) оценка параметров не представляется возможной без какого-либо допущения относительно поведения коэффициентов при лаговых переменных. Одним из допущений является предположение о том, что после некоторой длины лага (например,k) коэффициенты распределенного лага начнут убывать геометрически с одинаковым темпом λ (0< λ< 1). Тогда уравнение (5.43) может быть записано в виде

(5.44)

В уравнении (2) первые ккоэффициентов распределенного лага являются свободными (принимают любые значения), а остальные лаговые коэффициенты убывают в геометрической прогрессии.

Если в уравнении (5.44) предположить, что убывание лаговых коэффициентов в геометрической прогрессии происходит сразу же, а не через интервал времени к, то получим следующую модель:

(5.45)

Коэффициенты данной модели согласовываются с коэффициентами уравнения (5.43), а именно

(5.46)

Это означает, что оценив три параметра уравнения (5.45), т.е. и λ, можно перейти к модели (5.43):аиопределены по модели (5.43),и т.д.

Однако наличие в модели (5.45) бесконечного числа лаговых переменных затрудняет практическую ее реализацию, ибо исследователь имеет дело, как правило, с конечным числом лагов. Оценка параметров модели (5.45) возможна, если применить преобразование Койка.

Предполагая, что в модели (5.43) все лаговые коэффициенты имеют одинаковый знак и уменьшаются в геометрической прогрессии, Л. М. Койк предложил для оценки параметров модели (5.45) следующую процедуру:

— построить модель (5.45) для момента времени (t- 1), т.е. получить уравнение

(5.47)

— умножить уравнение (5.47) на λ, т.е. получить уравнение

(5.48)

— вычесть из уравнения (5.45) уравнение (5.48):

— после преобразования получить уравнение

(5.49)где.

Уравнение (5.49) получило название преобразование Койка. Практически в модели (5.49) от уравнения с распределенными лагами с бесконечным их числом (1) Л. М. Койк перешел к модели авторегрессии, для которой требуется оценить всего три параметра: а,и λ. Далее из соотношения (5.46) находятся параметры исходной модели (5.43).

Рассмотренный подход нашел широкое применение в исследовании кумулятивного эффекта рекламы на объем продаж, т.е. текущий объем продаж рассматривается в зависимости от расходов на рекламу текущего периода, объема продаж в предыдущий период времени и ошибки .

Преобразование Койка может быть использовано и при решении модели (5.44), когда несколько первых коэффициентов остаются свободными, а для оставшихся лагов реализуется данное преобразование. Например, считая, что иостаются свободными, а начиная свсе лаговые коэффициенты убывают с одинаковым темпом, можно записать

(5.50)

Далее после применения преобразования Койка получается уравнение

т.е. происходит переход к модели авторегрессии с распределенными лагами.

Преобразование Койка приводит к существенным упрощениям, ибо вместе с уменьшением числа оцениваемых параметров устраняется и проблема мультиколлинеарности факторов: теперь в модели (5.49) содержится две независимые переменные и.

Модель Койка позволяет анализировать краткосрочный и долгосрочный мультипликаторы. Краткосрочным мультипликатором является параметр , а долгосрочным — сумма коэффициентов регрессии, представляющая собой сумму геометрической прогрессии

В модели Койка (5.49) случайная ошибка коррелирована с переменной. Поэтому оценивание параметров ее модели традиционным МНК дает смещенные и несостоятельные оценки. Вместо МНК могут быть применены инструментальные переменные или метод максимального правдоподобия.

Поскольку уравнение (5.49) является моделью авторегрессии, то остатки могут быть автокоррелированы. Для их анализа не применим рассмотренный ранее критерий Дарбина—Уотсона (DW). Вместо него необходимо использоватьh-статистику Дарбина.