1.5.4. Закон сохранения момента импульса

Третьим фундаментальным законом сохранения в механике является закон сохранения момента импульса. Этот закон является следствием изотропии пространства, в результате которой поворот осей декартовой системы координат никак не влияет на физические законы.

Рассмотрим традиционный подход, без использования принципа наименьшего действия и функции Лагранжа, в котором закон сохранения момента импульса выводится в качестве следствия законов Ньютона.

Введем момент импульса МТ относительно точки О по аналогии с моментом силы . Например, для однородного тела, имеющего ось симметрии и вращающегося вокруг этой оси получим:

,

где: - радиус вектор точки, - вектор перпендикулярный оси вращения и соединяющий ось и точку тела, величина - называется моментом инерции тела, здесь также использовано правило раскрытия двойного векторного произведения: .

Отметим, что в общем случае тел произвольной формы с произвольно распределенной массой, направления векторов и не совпадают и связь между ними осуществляется с помощью тензора инерции. Для проекции на ось вращения S всегда имеет место равенство: .

Выведем закон сохранения импульса из законов Ньютона. Для этого продифференцируем момент импульса по времени:

.

Учтя второй закон Ньютона и тот факт, что второе слагаемое равно нулю получим: .

Для системы частиц имеет место равенство:

,

и с учетом окончательно получим: ,

откуда следует, что момент импульса замкнутой системы МТ остается постоянным.

Вопросы для контроля:

• Из какого фундаментального физического принципа следует закон сохранения энергии? Импульса? Момента импульса?

• Что такое импульс силы?

• Что сохраняется при неупругом ударе: векторная сумма импульсов? сумма кинетических энергий частиц?

• Что такое реактивное движение?

• Запишите и объясните формулу Мещерского.

• Запишите и объясните формулу Циолковского.

• От чего зависит сила тяги ракеты?

• В каких случаях центр масс отличается от центра импульса? Какое из этих понятий более фундаментально?

• Что такое центр тяжести тела? Может ли центр тяжести отличаться от центра масс?

• Может ли центр масс лежать вне тела?

• Зависит ли работа силы, затрачиваемая на изменение скорости тела от характера этого изменения?

• Как называются стационарные силы, работа которых не зависит от формы траектории?

• Каким равенством вводится потенциальная энергия?

• Сформулируйте закон сохранения механической энергии.

• Что такое момент импульса тела? Куда он направлен?

• Что такое момент инерции тела?

• В каких случаях момент импульса тела сохраняется?

• Как изменится угловая скорость вращения фигуриста, если его момент инерции уменьшить в два раза?

1.6. Элементы статики

Статика – раздел механики, в котором изучают условия равновесия тел под действием сил. Принципы статики:

1. Силы можно складывать и вычитать в соответствии с правилами сложения и вычитания векторов.

2. Точку приложения силы можно переносить вдоль ее направления, не меняя действие силы на тело.

3. Силу можно разложить на векторные составляющие.

Первое условие равновесия тела является очевидным следствием второго закона Ньютона , и является необходимым, но недостаточным условием равновесия, так как тело может совершать ускоренное вращательное движение под действием пары сил, рис.7. Второе условие равновесия, называемое правилом моментов, следует из закона сохранения энергии и составляет вместе с первым условием необходимые и достаточные условия равновесия тел.

Выведем правило моментов из закона сохранения энергии. В соответствии с общим принципом, энергия тел, находящихся в равновесии минимальна (устойчивое равновесие), максимальна (неустойчивое равновесие), или постоянна (безразличное равновесие). В любом случае энергия тела, находящегося в равновесии не изменяется при малом виртуальном повороте тела на угол (при сохранении связей в системе тел), рис.10. Следовательно, виртуальная работа всех сил, действующих на тело равна нулю. Виртуальная работа силы при виртуальном перемещении равна:

= =,

где M – момент силы, d – плечо силы. Таким образом, работа равна произведению момента силы на угол поворота. А так как суммарная работа равна нулю, то и алгебраическая сумма моментов всех действующих на тело сил должна равняться нулю.

В общем случае момент силы вводится как векторная физическая величина, равная . Таким образом, второе условие равновесия тел имеет вид: .