- •«Механика»
- •Учебная программа по курсу «Физика» (механика)
- •Раздел 1. Механика (18 лекционных часов)
- •По разделу «Механика»:
- •Принцип относительности Галилея.
- •Механика жидкостей. Уравнение Бернулли. Вязкость.
- •Темы практических занятий по разделу «Механика»
- •Основные физические термины:
- •Метрические приставки:
- •Порядок физических величин и точность в физике
- •Физика изучает временной интервал от 10-15 с до 1018с (время жизни Вселенной).
- •2.Формула для плотности мощности ветрового потока
- •3.Формула для скорости звука в газе
- •Постулат инвариантности заряда.
- •Вопросы для контроля:
- •Раздел 1. Механика
- •1.1. Основные определения кинематики
- •Уравнение (закон) равнопеременного движения:
- •Формула для пути с исключенным временем: .
- •Вопросы для контроля:
- •1.2. Основы динамики
- •1.2.1. Законы Ньютона
- •1.2.2. Приемы интегрирования уравнений Ньютона
- •1.2.3. Принцип относительности Галилея
- •Вопросы для контроля:
- •1.3. Гравитационное поле. Закон всемирного тяготения. Принцип эквивалентности масс
- •Вопросы для контроля:
- •1.4. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции. Сила Кориолиса
- •Вопросы для контроля:
- •1.5.Законы сохранения в механике
- •1.5.1. Закон сохранения импульса
- •1.5.2. Центр масс, импульса и тяжести
- •1.5.3. Закон сохранения энергии в механике
- •1.5.4. Закон сохранения момента импульса
- •Вопросы для контроля:
- •1.6. Элементы статики
- •Вопросы для контроля:
- •1.7. Механика твердого тела
- •1.7.2. Основное уравнение динамики вращательного движения
- •Вопросы для контроля:
- •1.8. Механика жидкостей. Уравнение Бернулли. Вязкость.
- •Вопросы для контроля:
- •Список литературы:
- •Составитель – Милюков Виктор Васильевич, доцент кафедры теоретической физики
- •95007, Г. Симферополь, пр. Вернадского, 4
1.2.2. Приемы интегрирования уравнений Ньютона
Рассмотрим уравнение движения материальной точки при условии зависимости силы от координат, скорости и времени
.
Обычно рассматривают три частных случая:
-
Сила зависит только от времени, , задача решается двукратным интегрированием по времени, (пример - реактивное движение ракеты).
-
Сила зависит только от скорости, . В этом случае для одномерного движения записывая , можно разделить переменные, и получить зависимость t(v), обращая которую, находим v(t), (пример- движение тела в среде с сопротивлением).
-
Сила зависит только от координат, , в этом случае интегрирование обычно осуществляется с привлечением закона сохранения момента количества движения и закона сохранения энергии, (классический пример - задача о движении материальной точки в поле центральных сил).
Пример. Вычисление периода колебаний математического маятника.
Запишем закон сохранения энергии для материальной точки, совершающей колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести: , где: -масса, -длина нити, -угол отклонения нити от вертикали, -максимальный угол отклонения от вертикали.
Разделяя переменные, получим: .
К сожалению, интеграл не вычисляется в элементарных функциях, но легко вычисляется численными методами.
Окончательное выражение для периода колебаний имеет вид , где – полный эллиптический интеграл 1-го рода.
1.2.3. Принцип относительности Галилея
Основывается на следующих постулатах:
1. В любой ИСО пространство однородно и изотропно.
2. Время однородно и абсолютно, т.е. одинаково протекает во всех ИСО. Скорость распространения сигнала может быть бесконечной.
3. Масса частиц одинакова во всех ИСО.
4. Координаты и время в двух ИСО связаны преобразованиями Галилея, , , , - преобразования Галилея.
5. Любое механическое явление, при одинаковых начальных условиях протекает одинаковым образом во всех ИСО (принцип относительности Галилея).
Обоснование принципа относительности Галилея основано на инвариантности величин, входящих в уравнения механики. Величина называется инвариантной, если она не меняется при соответствующих преобразованиях координат, времени. После двукратного дифференцирования преобразований Галилея по времени, получим , т.е. ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея. Сила также инвариантна, т.к. она зависит от относительных расстояний и скоростей. Таким образом, все величины, входящие во второй закон Ньютона инвариантны, следовательно, инвариантны и сами уравнения. Окончательно, принцип относительности Галилея можно сформулировать таким образом: все законы классической механики инвариантны относительно преобразований Галилея.
Типовые задачи динамики:
Задача №7. Тормозить или поворачивать? Водитель автомобиля видит стену, перпендикулярную направлению движения. Что меньше: тормозной путь при прямолинейном движении, или минимальный радиус поворота?
Задача №8. Оцените перегрузку, которую испытывает пилот, при посадке на палубу авианосца. Тормозной путь равен 100м, посадочная скорость 216км/час.
Задача №9. Шарик для пинг-понга падает с большой высоты. Чему равно ускорение шарика сразу после отскока от абсолютно упругой поверхности.
Задача №10 (№ 1.59 из сборника задач [5]). Частица движется вдоль оси X по закону , где и – положительные постоянные. В момент t=0 сила, действующая на частицу, равна F0. найти значение силы Fx в точках поворота и в момент, когда частица опять окажется в точке X=0.
Решение: ; ;
, ; , ; ;
; .
Задача №11 (№ 1.60 из сборника задач [5]). найти модуль и направление силы, действующей на частицу массы m при ее движении в плоскости XY по закону , , где A, B, – постоянные.
Решение: , ;
, ; .
Задача №12 (№ 1.69 из сборника задач [5]). Небольшое тело m начинает скользить по наклонной плоскости из точки, расположенной над вертикальным упором. Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью k=0,14. При каком значении угла время соскальзывания будет наименьшим? Расстояние по горизонтали между точками старта и финиша считать постоянным.
Решение: , очевидно ,
. ;
откуда, после вычисления производной по :
и, окончательно, .
Задача №13 (№ 1.84 из сборника задач [5]). Катер массы m движется по озеру со скоростью V0. В момент t=0 выключили его двигатель. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости катера, , найти:
-
время движения катера с выключенным двигателем;
-
скорость катера в зависимости от пути, пройденного с выключенным двигателем, а также полный путь до остановки.
Решение: ; ; ;
; ; , .
Задача №14 (№ 1.93 из сборника задач [5]). Велосипедист едет по круглой горизонтальной площадке радиуса R. Коэффициент трения зависит только от расстояния r до центра площадки как , где k0 – постоянная. Найти радиус окружности с центром в точке O, по которой велосипедист может ехать с максимальной скоростью. Какова эта скорость?
Решение: ; ;
; ; .