Показатели эффективности систем массового обслуживания

Эффективность системы - это степень ее приспособленности к выполнению задачи. Она зависит от соотношения между интенсивностью входящего потока и производительностью каналов обслуживания. В качестве единицы измерения нагрузки системы применяется так называемый Эрланг (Эрл) – интенсивность входящего потока, при которой среднее время между поступлением заявок равно среднему времени ее обслуживания.

Показатели эффективности формируются в зависимости от назначения и условий функционирования системы. Наиболее распространенные показатели эффективности [10] и принятые для них обозначения приведены ниже.

1) Вероятность отказа в обслуживании (потери заявки) - P_отк.

2) Абсолютная пропускная способность системы (среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени) - A.

3) Среднее число занятых каналов обслуживания

,

где n - число каналов, p_k - вероятность того, что k из n каналов заняты обслуживанием заявок.

4) Среднее число заявок, ожидающих обслуживания в n-канальной системе массового обслуживания,

,

где m - число мест в очереди, r - число ожидающих заявок.

5) Коэффициенты простоя и занятости каналов, соответственно,

6 Среднее число заявок, связанных с системой (в очереди и обслуживании), - K_сист=K_кан+K_ож.

7) Среднее время нахождения заявки в системе - T_сист.

8) Среднее время ожидания начала обслуживания - T_ож.

В отдельную группу показателей можно выделить стоимостные показатели эффективности. Функции экономической эффективности могут служить критерием оптимальности параметров системы.

Потоки событий

Множество моментов поступления заявок в систему массового обслуживания называется входящим потоком или нагрузкой системы. Эффективность системы в существенной степени зависит от характера входящего потока. Множество моментов выхода заявок из системы массового обслуживания образуют поток обслуженных заявок или поток освобождений. Характер потока обслуженных заявок определяется свойствами и числом каналов обслуживания.

Поток событий - это последовательность следующих друг за другом однородных событий. Поток может быть регулярным или случайным. В регулярном потоке события следуют друг за другом через строго определенные интервалы времени. В случайном потоке интервалы времени между соседними событиями - случайные величины.

Основные определения

Стационарный поток - это поток событий, у которого вероятность появления определенного числа событий на интервале от t до t+ зависит только от протяженности интервала () и не зависит от его положения на оси времени (t).

Нестационарный поток - это поток событий, у которого вероятность появления определенного числа событий на интервале от t до t+ зависит от протяженности этого интервала () и от его положения на оси времени (t).

Ординарный поток - это поток событий, у которого вероятность появления двух и более событий за малый интервал времени пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления на этом интервале одного события.

Ординарность потока исключает возможность одновременного появления двух и более событий в течение малого интервала времени Δt (Δt<< среднего интервала времени между событиями).

Параметр ординарного потока ((t)) - это среднее число событий поступающих в единицу времени, которое в общем случае может зависеть от времени. Размерность параметра потока [(t)] = c^-1. Среднее число событий, наступающих на интервале от t до t+, равно

.

Для стационарного потока (t)= - величина постоянная и ведущая функция не зависит от времени

.

Когда при определении ординарности потока говорят о малости интервала времени , то имеется ввиду выполнение неравенства (t)^-1<<.

Неординарный поток - это поток, у которого в течение малого интервала времени () с вероятностью p_k (p_k=1) может появиться группа из k событий (k = 1..m). Момент появления группы событий называют также вызывающим моментом [9]. Математическое ожидание числа событий, поступающих в вызывающий момент

.

Параметр неординарного потока определяется как предел отношения

,

где P1(t, t+t) - вероятность появления не менее одного события в промежутке от t до t+t. Таким образом, параметр неординарного потока (t) - это среднее число вызывающих моментов (групп событий) в единицу времени.

На рис. представлены примеры графического представления ординарного и неординарного потоков, где точками обозначены события, появляющиеся в случайные моменты времени. В неординарном потоке в вызывающие моменты появляются одно или несколько событий. Например, в вызывающий момент t₃ одновременно появилось пять событий.

Интенсивность потока событий (I(t)) - это математическое ожидание числа событий в единицу времени, которое может зависеть от времени. Для ординарного потока интенсивность равна параметру потока. Для неординарного потока I(t) = M(k)(t)>(t), так как M(k) > 1. Параметр неординарного потока равен интенсивности наступления вызывающих моментов. Наряду с термином “интенсивность” иногда используется и термин “плотность” [1].

Отсутствие последействия в потоке означает, что для любых двух неперекрывающихся интервалов времени ₁ и ₂ число событий, попадающий на один интервал, не зависит от того, сколько событий попало на другой интервал [10].

В потоке с ограниченным последействием интервалы между событиями - независимые случайные величины с функциями распределения F_k(t), зависящими от номера события k. В таком потоке вероятность наступления очередного события в данный момент t зависит только от момента появления последнего события t_k-1.

Частным случаем потоков с ограниченным последействием являются так называемые потоки Пальма.

Поток Пальма - это стационарный, ординарный поток с ограниченным последействием [5].

Пример потока Пальма. Если при отказе какого-либо элемента в приборе он немедленно заменяется новым с той же плотностью распределения времени наработки до отказа, то поток отказов прибора образует поток Пальма.