1. Простейший поток событий

Поток, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последействия, называется простейшим.

Простейший поток событий используется в качестве модели реального потока заявок в подавляющем большинстве работ по теории массового обслуживания. Это является следствием трех обстоятельств [10]:

1) Использование простейшего потока позволяет получать простые соотношения для оценки эффективности систем массового обслуживания. Для других моделей потоков это удается редко.

2) Простейший поток – это, как правило, тяжелые условия функционирования системы массового обслуживания, так что получаемые таким образом оценки эффективности систем оказываются достаточно надежными.

3) И, наконец, простейший поток в теории массового обслуживания играет такую же роль, что и нормальный закон в теории вероятностей.

При наложении нескольких стационарных, ординарных, независимых случайных потоков образуется поток, который по своим характеристикам оказывается близким к простейшему.

Это утверждение верно практически при выполнении единственного условия: среди суммируемых потоков не должно быть потока с интенсивностью сравнимой с суммой интенсивностей остальных потоков. Имеются также некоторые ограничения на последействие внутри каждого потока, которые для прикладных задач обычно несущественны. Практически сложение уже четырех-пяти стационарных, ординарных независимых потоков, сравнимых по интенсивности, достаточно, чтобы свойства суммарного потока оказались близкими к свойствам простейшего потока.

Независимость потоков означает, что число событий, наступающих на двух произвольных интервалах времени ₁ (для одного потока) и ₂ (для другого потока), - независимые случайные величины.

Реальные потоки событий часто являются результатом наложения многих независимых потоков событий и вследствие этого имеют свойства, близкие к свойствам простейшего потока. При наложении n потоков интенсивность суммарного потока определяется как сумма .

Распределение интервалов времени между событиями

Свойства простейшего потока определяют распределение интервалов времени между событиями [6] .

Из стационарности простейшего потока следует, что   (t).

Из ординарности потока следует, что на малом интервале времени от t до t+t (t<<1) может не произойти ни одного события с вероятностью P₀(t) или появится одно событие с вероятностью P₁(t) . Сумма вероятностей

поскольку в ординарном потоке в течение малого интервала времени может появиться не более одного события.

Вероятность появления одного события на малом интервале P₁(t)= t, следовательно,

P₀(t)= 1- P₁(t)=1- t .

Найдем вероятность того, что на произвольном интервале времени t не окажется ни одного события (P₀(t)). Положим, что интервал времени от нуля до t разбит на равные отрезки t. Чисто таких отрезков, очевидно, равно t/t. Тогда в силу отсутствия последействия вероятность того, что на всем интервале (0, t) не появится ни одного события, равна произведению вероятностей ненаступления событий на отдельных интервалах:

.

Предел этого выражения [2] при t0:

.

Вероятность P₀(t) - это вероятность того, что интервал времени между событиями окажется больше t. Вероятность противоположного события, то есть функция распределения интервалов времени между событиями в простейшем потоке

F(t) = 1-P₀(t)=1- exp(-t), t > 0.

Другими словами, простейший поток - это поток Пальма с функцией распределения интервалов времени между событиями

F(t) = 1- exp(-t), t > 0.

Следовательно, в простейшем потоке интервалы времени между событиями имеют экспоненциальную плотность распределения вероятностей

.