Предельные вероятности состояний

При выполнении определенных условий при t в системе наступает стационарный режим. При этом вероятности состояний перестают зависеть от времени, то есть становятся постоянными величинами. Эти вероятности называются предельными (финальными, стационарными) [3]. В отличие от вероятностей p_k(t) эти вероятности будем обозначать p_k (без переменной t в скобках т.е. p_k=lim_t→∞p_k(t)).

Если число состояний системы конечно и из каждого состояния можно перейти (за конечное число шагов ) в каждое другое, то предельные вероятности существуют и не зависят от начальных условий. Случайный процесс, протекающий в такой системе, называют эргодическим [11].

Для вычисления предельных вероятностей в уравнениях Колмогорова нужно положить все левые части (производные) равными нулю, так как в стационарном режиме вероятности состояний - постоянные величины. Тогда система дифференциальных уравнений превращается в систему линейных, однородных алгебраических уравнений. Совместно с нормировочным уравнением p_i=1 эти уравнения позволяют вычислить предельные вероятности. Во многих прикладных задачах интерес представляют именно предельные вероятности.

Уравнения Колмогорова тесно связаны с известными уравнениями Кирхгофа. Для установившегося режима уравнения Колмогорова по аналогии с уравнениями Кирхгофа можно сформулировать так: суммарная интенсивность потоков событий, проходящих через любое возможное состояние системы, равна нулю [14].

Пример

Среднее время между отказами некоторого устройства равно t₀ часов. Отказу соответствует переходу S₀S₁ на графе состояний (рис. 3.4). После отказа проводится предварительный осмотр устройства, на который требуется в среднем t₁ часов. В результате предварительного осмотра может быть принято одно из трех решений:

- Требуется замена отказавшего элемента, на что тратится в среднем t₂ часов. Вероятность этого решения q₁₂, ему соответствует переход S₁S₂.

- Требуется замена ряда узлов с последующей регулировкой, на что тратится в среднем t₃ часов. Вероятность этого решения q₁₃, ему соответствует переход S₁S₃.

- Требуется сложный ремонт, регулировка и проведение цикла испытаний, на что тратится в среднем t₄ часов. Вероятность этого решения q₁₄ , ему соответствует переход S₁S₄.

Сумма q₁₂+ q₁₃+ q₁₄=1. Плотность распределения времени проведения операции t_i (i=0...4) - экспоненциальная.

Требуется определить среднее время пребывания системы в работоспособном состоянии (S₀).

Решение. Определим интенсивности переходов:

- Из состояния S₀ возможен переход только в состояние S₁, следовательно, ₀₁=₀=1/t₀.

- Интенсивность перехода из состояния S₁ ₁=1/t₁, а относительные вероятности переходов - q₁₂, q₁₃, q₁₄. Следовательно,

.

- Из состояний S₂, S₃, S₄ возможны переходы только в состояние S₀, следовательно, ₂₀=1/t₂, ₃₀=1/t₃, ₄₀=1/t₄.

Система алгебраических уравнений для определения предельных вероятностей:

Нормировочное уравнение .

Для нахождения предельных вероятностей все вероятности, начиная с первой, последовательно выражаются через p₀, после чего, воспользовавшись нормировочным уравнением, находится p₀. Из второго уравнения сразу определяется p₁=h₁p₀. Подстановкой p₁ в уравнения () и () находятся p_i=h_ip₀ для i =2, 3, 4. Коэффициенты h_i зависят от интенсивностей переходов. Из равенства находим .