Одноканальные системы с ожиданием (системы m/m/1/m)

Интенсивность входящего потока , интенсивность обслуживания . Множество возможных состояний системы: S₀ - канал обслуживания свободен; S₁ - канал обслуживания занят, очереди нет; S_k - канал обслуживания занят, в очереди k-1 заявка (k=2, 3,...,m); S_(m+1) - канал обслуживания занят, в очереди m заявок. Размеченный граф состояний системы представлен на рис. 5.2.

При исследовании систем массового обслуживания, как правило, анализируются предельные вероятности состояний. Система уравнений для предельных вероятностей:

Уравнение нормировки p_k=1.

Для определения стационарных вероятностей сначала выразим все вероятности, начиная с p₁, через p₀, а затем, воспользовавшись уравнением нормировки, найдем p₀. Введем обозначение =/..

Из первого уравнения p₁=p₀. Из второго уравнения p₂=²p₀. По аналогии вероятность k-го состояния определится как p_k=^kp₀. Подставив полученные выражения в нормировочное уравнение, получим

, .

В квадратных скобках - сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем  и числом членов m+1 [2]. Следовательно,

,

При числе мест в очереди равном нулю (m=0)

,

что соответствует полученному ранее результату для системы M/M/1.

Показатели эффективности.

Вероятность отказа

.

Относительная пропускная способность q=1-P_отк.

Абсолютная пропускная способность .

Среднее число заявок в системе

.

В соответствие с формулой Литтла среднее время пребывания заявки в системе и среднее время ожидания обслуживания определяются как

.

5.3. Системы m/m/1/

Результаты, полученные для системы M/M/1/m, можно распространить на системы типа M/M/1/, перейдя к пределу при m. При этом возможны два случая: >1 и <1. При >1 канал обслуживания в среднем не успевает обслужить входящий поток (>), очередь растет неограниченно и в системе не наступает установившееся состояние.

Предельные вероятности существуют только при <1. Этот случай и рассматривается далее.

Вероятности состояний имеют распределение Паскаля [11]

.

Так как <1, то наиболее вероятным является состояние p₀.

Показатели эффективности.

Относительная пропускная способность системы q=1, так как рано или поздно любая заявка будет обслужена.

Среднее число заявок в системе (в обслуживании и очереди):

.

Воспользовавшись формулой для суммы членов геометрической прогрессии, получим окончательно:

.

Среднее число заявок, ожидающих в очереди, можно найти, вычитая из K_сист среднее число заявок, находящихся в обслуживании, то есть

.

По формуле Литтла, найдем среднее время пребывания заявки в системе с неограниченной очередью (ожидание плюс обслуживание) и среднее время ожидания

.

Пример 5.1.

Контролер проверяет изделия на конвейере. В среднем одно изделие появляется один раз в 10 мин. Среднее время проверки изделия - 8 мин. Входящий поток - простейший, распределение времени проверки - экспоненциальное. Если изделие появляется в момент, когда контролер занят, оно помещается в специальный контейнер и ожидает проверки. Число контейнеров ограничено, если все контейнеры заняты, изделие не проверяется. Определить число контейнеров, при котором вероятность контроля не менее 0,9 (P_отк0,1).

Решение. Примем в качестве условной единицы времени 1 у.е.в=10 мин. Тогда =1; =1/0,8 =1,25; =/=0,8. Вероятность того, что все места в очереди окажутся занятыми

,

где m - число мест в очереди, которое требуется определить. Полученное уравнение линейно относительно ^m. Проделав очевидные преобразования и прологарифмировав, получим

.

Подставляя численные значения, находим, что требуемая вероятность контроля обеспечивается при m  4.

СХЕМА ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ

Как было показано, имея размеченный граф состояний, легко составить систему алгебраических уравнений для предельных вероятностей. В некоторых случаях систему алгебраических уравнений удается решить заранее. В частности, это можно сделать для так называемой схемы гибели и размножения, граф состояний которой представлен на рис. 6.1. Граф этого типа соответствует процессу изменения численности популяции и используется в биологии для исследования динамики численности популяции, откуда и появилось название. Такие графы часто встречаются и в задачах теории массового обслуживания, поэтому есть смысл найти для них предельные вероятности состояний.

Интенсивностям переходов приписаны номера состояний, из которых исходят соответствующие стрелки. Граф характерен тем, что состояния системы можно вытянуть в цепочку так, что каждое среднее состояние связано с двумя соседними (например, уже рассмотренный граф состояний системы M/M/1/m) .

Запишем систему уравнений для предельных вероятностей состояний, поместив в левые части уравнений вероятности выхода из состояний, а в правые – вероятности входа в состояния:

Выразим вероятности всех состояний, начиная с p₁, через вероятность p₀. Для этого из первого уравнения найдем p₁, а затем последовательно будем исключать из уравнений вероятности предыдущих состояний: из второго уравнения, исключив p₁, найдем p₂, из третьего, исключив p₁ и p_{2 ,} найдем p₃ и т.д.

Повторяя эту процедуру, приходим к формуле

Полученный результат можно сформулировать в виде правила.

Для получения выражения для вероятности k-го состояния процесса гибели и размножения, начиная с k=1, надо составить дробь, в числителе которой стоит произведение всех интенсивностей переходов слева направо, ведущих к k-му состоянию, а в знаменателе - произведение интенсивностей переходов справа налево, ведущих от k-го состояния, и умножить эту дробь на p₀.

Из нормировочного уравнения находится p₀:

.

при _i=0 имеем процесс чистого размножения. Такой моделью описываются явления типа взрыва [10]. При _i=0 - чистый процесс гибели. К этой модели приводит, например, задача определения надежности резервированных систем без восстановления. Полученные соотношения будут в дальнейшем использованы при анализе многоканальных систем обслуживания.