Распределение числа событий на интервале времени

Можно показать, что вероятность появления ровно k событий на интервале времени t определяится т. н. распределением Пуассона:

.

Числовые характеристики простейшего потока

Математическое ожидание интервала времени между соседними событиями

.

Дисперсия интервалов времени между событиями

.

(вопрсы: что такое m и D)

среднее квадратическое отклонение _t= ^-1. Равенство математического ожидания и среднего квадратического отклонения характерно для экспоненциального распределения и может быть использовано для проверки статистической гипотезы о распределении интервалов времени между событиями.

Математическое ожидание числа событий за время t можно определить из распределения Пуассона [12]. Как и следовало ожидать,

Найдем вероятность того, что событие не наступит на интервале времени  при условии, что перед этим событие не наступало в течение некоторого времени t. Эта вероятность равна вероятности того, что событие не наступит в течение всего интервала времени t+, то есть p₀(t+). С другой стороны, эта же вероятность равна произведению p₀(t)p₀(/t), где p₀(/t) - это условная вероятность того, что событие не наступит в течение интервала времени  при условии, что событие не наступило в течение предшествующего интервала времени t. Следовательно,

p₀(t+) = p₀(t) p₀(/t).

Тогда условная вероятность

.

Таким образом, показано, что в простейшем потоке отсутствует последействие то есть вероятность того, что в течение интервала  событие не наступит (а, следовательно, и вероятность противоположного события) не зависит от того, сколько времени прошло с момента наступления предыдущего события, а зависит только от протяженности самого интервала .

Иными словами, если заявки давно не было, это не значит, что она скоро появится и, наоборот, если заявка появилась недавно, это не значит, что следующей долго не будет. Вероятность отсутствия заявки остается неизменной и равной p₀()=e^- , а математическое ожидание времени до ее появления остается равным 1/, начиная с любой точки отсчета времени.

Регулярный поток событий

Определим регулярный поток, как поток, в котором события следуют через одинаковые интервалы времени T=m_t. Плотность распределения интервалов между событиями

f(t) =  (t - m_t),

где () - дельта-функция Дирака. Дисперсия интервалов равна нулю. Поток обладает неограниченным последействием.

2.6. Потоки на выходе каналов обслуживания

Экспоненциальная плотность распределения. Предполагается, что время от начала обслуживания до его окончания имеет плотность распределения вероятностей

f_(t) = exp(-t), t>0,

где  - средняя продолжительность сеанса связи или производительность канала, то есть среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени. Производительность связана со средним временем обслуживания соотношением T_=1/. Модель удобна для анализа, но не всегда оказывается адекватной реальному процессу обслуживания, в частности по той причине, что при экспоненциальном распределении существует большая вероятность окончания обслуживания за малое время.

Модели массового обслуживания

В процессе функционирования системы массового обслуживания происходят изменения ее (системы) состояния. В простых случаях состояние системы определяется числом занятых каналов, числом заявок, ожидающих обслуживания. Причинами изменения состояния системы являются поступления новых заявок и освобождение каналов обслуживания. В системах с так называемыми “нетерпеливыми” заявками изменение состояния системы происходит и вследствие ухода заявок из очереди до начала обслуживания.

Состояния системы образуют множество возможных состояний S с элементами S_k (k=0, 1, 2...), которое может быть конечным или бесконечным (например, в системах с неограниченным числом мест в очереди). Полагается, что переходы системы из одного состояния в другое происходят мгновенно и в случайные моменты времени. В пределах ограничений, накладываемых структурой системы, характеристиками входящего потока и дисциплиной обслуживания, последовательность смены состояний системы обычно случайна.

Последовательность состояний системы образует случайную функцию времени (случайный процесс).

Случайный процесс, протекающий в системе, можно представить в виде графа состояний (рис. 3.1). Направления переходов обозначаются стрелками. Изменения состояний слева направо происходит под действием входящего потока, а справа налево – вследствие освобождения каналов обслуживания. Полагаем, что потоки событий простейшие, поэтому одновременный приход двух вызовов или одновременное освобождение двух каналов невозможен (₀₂=₂₀=0). Граф состояний системы с указанными интенсивностями переходов называют размеченным графом состояний.