3.7. Построение точки пересечения прямой и плоскости

           

            Прямая линия в пространстве может принадлежать плоскости (этот случай был рассмотрен ранее в пункте 3.4 настоящей главы), а также быть параллельной плоскости или пересекать её. При пересечении прямой линии с плоскостью следует выделить частный случай, когда прямая перпендикулярна плоскости. Первый случай был разобран в пункте 3.4, в котором рассматривалась одна из основных графических операций – построение линий, принадлежащих плоскости.

 

            Рассмотрим случай пересечения прямой линии с плоскостью.

            Если прямая не принадлежит плоскости, и не параллельна ей, то она пересекает данную плоскость. Задача на пресечение прямой линии с плоскостью является одной из основных задач начертательной геометрии. Она входит составной частью в решение самых различных задач по всем разделам курса. Решение задач на пересечение прямой и плоскости с поверхностью и взаимное пересечение поверхностей, построение теней в ортогональных проекциях, аксонометрии и перспективе практически сводится к определению точки пересечения прямой с плоскостью или поверхностью.

            При решении задач на пересечение прямой с плоскостью следует выделить частный случай. Если плоскость занимает проецирующее положение, то одна проекция точки пересечения определяется в пересечении проекции прямой с проецирующим следом плоскости, а другая проекция строится с помощью линии связи (рис. 3.10.)

 

Рис. 3.10

 

а)                                                                                           б)

Рис. 3.11

 

            Если заданная плоскость общего положения, точка пересечения прямой с плоскостью определяется с помощью вспомогательной секущей плоскости.

            Для построения точки пересечения прямой линии с плоскостью необходимо (рис. 3.11):

1. провести через прямую АВ вспомогательную проецирующую плоскость Q;

2. построить линию 1-2 пересечения данной плоскости и вспомогательной;

3. определить искомую точку К пересечения данной прямой DЕ с линией пересечения плоскостей 1-2.

Решение этой задачи показано на пространственной модели (рис. 3.12, а) и на комплексном чертеже (рис. 3.12,б). Завершается решение задачи определением видимых участков прямой. Видимость прямой относительно плоскости треугольника определяется путем разбора взаимоположения точек заданной прямой и сторон плоскости треугольника, совпадающих на проекциях (метод конкурирующих точек).

 

Рис. 3.12

 

Задача на пресечение прямой с плоскостью решается аналогичным способом и в том случае, когда плоскость задана следами (рис. 3 13). Через прямую АВ проведена горизонтально–проецирующая плоскость Q. Найдена линия пересечения МN плоскости посредника Q с плоскостью заданной Р. Искомая точка пересечения К прямой АВ с плоскостью Р найдена в пересечении заданной прямой с полученной линией пересечения. Видимость участков прямой определена методом конкурирующих точек.

 

Рис. 3.13.

 

 

3.8 Параллельность прямой и плоскости

 

При решении вопроса параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стереометрии: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости.

Оценим взаимное положение прямой АВ и плоскости, представленных на рис. 3.14.

 

Рис. 3.14

 

Для этого проведем через прямую АВ вспомогательную плоскость Q (QП₁).

В данном случае через прямую проведена горизонтально-проецирующая плоскость, горизонтальный след которой сливается с одноименной проекцией прямой А₁В₁. Далее построены проекции линии пересечения плоскостей 1-2 сравнение которых с проекциями прямой показывает, что прямая АВ не параллельна плоскости треугольника ВСD.

 

Рис. 3.15

 

На рис. 3.15 показано построение прямой параллельной заданной плоскости треугольника АВС и проходящей через точку К Через заданную точку в пространстве можно провести бесчисленное множество прямых линий параллельных заданной плоскости. Для получения единственного решения требуется какое-нибудь дополнительное условие. Например, искомая прямая должна быть параллельна плоскости треугольника АВС и параллельна плоскости проекций П₁ (дополнительное условие).

Для решения задачи в плоскости треугольника АВС проведена одна из горизонталей и затем через точку К проведена прямая, параллельная этой горизонтали.