Глава 8. Обобщенные позиционные задачи.

 

8.1 Пересечение кривой поверхности плоскостью.

 

В сечении поверхности плоскостью получается плоская линия, которую строят по отдельным точкам. При этом сначала строят опорные точки, лежащие на контурных линиях поверхности, а также точки на ребрах и линиях основания поверхности. Если проекция линии пересечения этими точками не определяется полностью, то строят, дополнительны, промежуточные между опорными, точки. Чертеж всегда можно преобразовать так, чтобы секущая плоскость стала проецирующей (см. рис. 8), поэтому рассмотрим случаи пересечения поверхностей,  плоскостями частного положения, считая секущую плоскость прозрачной.

В сечении цилиндрической поверхности вращения плоскостью могут быть получены следующие линии (рис. 8.1).

Окружность, если секущая плоскость Q перпендикулярна оси вращения поверхности;

Эллипс, Если секущая плоскость Р не перпендикулярна и не параллельна оси вращения;

Две образующие прямые, если секущая плоскость Т параллельна оси поверхности.

На плоскость П₁ перпендикулярную оси вращения поверхности, окружность и эллипс на поверхности цилиндра проецируются в окружность, совпадающую с проекцией всей поверхности.

Рисунок 8.1

 

В сечении конической поверхности вращения плоскостью могут быть получены  следующие линии (рис. 8.2; 8.3; 8.4; 8.5; 8.6):

окружность, если секущая плоскость Р перпендикулярна оси вращения (рис. 8.2);

Рисунок 8.2

 

эллипс, если секущая плоскость Р пересекает все образующие  поверхности  (рис. 8.3);

Рисунок 8.3

 

            парабола, если секущая плоскость (Р) параллельна только одной образующей (S - 1)  поверхности (рис. 8.4);

Рисунок 8.4

 

гипербола, если секущая плоскость  (Р) параллельна двум образующим  (S – 5 и S - 6) поверхности (рис. 8.5);

Рисунок 8.5

 

две образующие (прямые), если секущая плоскость (Р) проходит через вершину S поверхности (рис. 8.6).

Рисунок  8.6

 

            Проекции кривых линий сечений плоскостью конуса строятся по отдельным точкам (точки 2, 4 на рис. 8.3).

            При пересечении сферы всегда получается окружность. Если секущая плоскость параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость окружность сечения  проецируется без искажения (рис. 8.7)

Рисунок  8.7

 

Если секущая плоскость занимает проецирующее положение, то на плоскости проекций, которой секущая плоскость перпендикулярна (на рис. 8.8   б – на фронтальной), окружность сечения изображается отрезком прямой (1₂ - 4₂),  длина которого равна диаметру окружности, а на другой плоскости  - эллипсом, большая ось которого (5₁ -6₁) равна диаметру окружности сечения. Этот эллипс строят по точкам. Точки видимости 2 и 3 относительно плоскости П₁ лежат на экваторе сферы.

Рисунок  8.8

 

Построить проекции линии пересечения плоскость Т с поверхностью цилиндра.

Проводим через ось цилиндра  горизонтально – проецирующую плоскость R₁ перпендикулярную  к плоскости Т₁ плоскость R пересекает поверхность цилиндра по образующим, а плоскость Т – по прямой  (N₁M₁;N₂M₂); на их пересечении  получаем низшую точку  (1) и высшую точку (2) линий пересечения. Проводим через ось цилиндра плоскость R₁, параллельную вертикальной плоскости проекций; плоскость R₁ пересекает поверхность цилиндра по крайним образующим, а плоскость Т – по фронтали; на их пересечении получаем точки (3₁; 3₂) (4₁; 4₂) линии пересечения.

Находим точки пересечения профильных образующих цилиндра с плоскостью Т. Горизонтальные проекции (5) и (6) этих точек известны; по ним пользуясь горизонталями, находим вертикальные проекции (5.2 и 6.2). Аналогично находим точки пересечения еще нескольких образующих цилиндра с плоскостью. Соединив последовательно вертикальные проекции всех найденных точек, получаем вертикальную проекцию линии пересечения – эллипс. 

 

Рисунок  8.9

 

Построение проекции линии пересечения  плоскости Т с поверхностью конуса.

 

Построить проекции линии пересечения плоскости Т с поверхностью конуса.(рис. 8.10).

Плоскость Т пересекает поверхность конуса по эллипсу, вертикальная проекция которого совпадает с вертикальным следом (Т₂) плоскости. Горизонтальную проекцию эллипса строим по точкам: задаем вертикальные проекции ряда его точек и находим их горизонтальные проекции. Затем через горизонтальные проекции точек проводим кривую – эллипс. Горизонтальную проекцию линии пересечения, как эллипс, можно построить так же по главным осям: по большой оси и по малой оси. Истинную величину эллипса можно построить по двум его главным осям: по большой оси и по малой оси, которую находят по вертикальной проекции.

 

Рисунок  8.10

Построить линии проекции плоскости Т с поверхностью шара (сферы).

 

Проводим через центр шара горизонтально – проектирующую плоскость R перпендикулярную к плоскости Р; плоскость R пересекает поверхность шара по окружности, а плоскость Т  - по прямой (N₁M₁; N₂M₂); на пересечении получаем низшую точку (1) и высшую точку (2) линий пересечения.

Для того чтобы найти промежуточные точки линий пересечений, проводим между точками (1) и (2) ряд вспомогательных плоскостей Q, Q₁ и т. д., параллельных горизонтальной плоскости проекций. Например, плоскость Q₂₁ пересекает поверхность шара по окружности, а плоскость Т – по горизонтали; на их пересечении получаем две точки: (3) и (4) и т. д.

Для того чтобы на вертикальной проекции кривой отделить видимую ее часть от невидимой, проводим через центр шара плоскость R1, параллельную вертикальной плоскости проекций; плоскость R₁ пересекает  поверхность шара по главному меридиану, а плоскость Т по фронтали. На их пересечении получаем точки (1) и (2). Для того что бы на горизонтальной проекции кривой отделить видимую ее часть от невидимой, Проводим через центр шара плоскость Q, параллельную горизонтальной плоскости проекций; плоскость  Q₂₃ пересекает поверхность шара по экватору , а плоскость Т по горизонтали. На их пересечении получаем точки  (5) и (6). Затем одноименные проекции всех найденных точек соединяем плавными кривыми – эллипсами.

Рисунок  8.11

 

8.2 Пересечение кривой поверхности прямой.

Пересечение прямой с поверхностьюДля того чтобы найти  точки пересечения прямой с поверхностью любого тела (цилиндр, конус, шар и т. д.), поступают точно также, как и при нахождении точки пересечения прямой с плоскостью, а именно:

 

1. заданную прямую заключают во вспомогательную плоскость;

2. находят линию (кривую) пересечения заданной поверхности со вспомогательной плоскостью;

3. на пересечении заданной прямой с линией пересечения получают искомые точки .

В частном случае прямая линия может быть касательной к поверхности.

Указание. При заключении прямой во вспомогательную плоскость последнюю следует выбирать так, чтобы ее линия пересечения с поверхностью проектировалась на плоскости проекций в виде простейших линий – прямой или окружности.

 

Пример 1.  Найти точки пересечения прямой  АВ с поверхностью цилиндра  (рис. 8.12; 8.13). проведем через прямую вспомогательную плоскость, параллельную образующим цилиндра. Для этого через точки А и В проведены прямые , параллельные образующим цилиндра. Найдены их горизонтальные следы M и N. Точки Р и Q₁ пересечения горизонтального следа вспомогательной плоскости с основанием цилиндра определяют положения образующих  PK¹ и QK² по которым вспомогательная плоскость  пересекается с цилиндром. Точки K¹ и K² - искомые точки. На рис. 8.13 эта задача решена на комплексном чертеже. Если бы через прямую АВ провели вспомогательную проектирующую плоскость, то в сечении получился бы эллипс, который дал бы возможность найти точки  K1 и K2, но решение задачи было бы сложнее.

Рисунок  8.12

 

Рисунок  8.13

 

Пример 2. Найти точки пересечения  прямой АВ с поверхностью конуса (рис. 8.14). Проведем через прямую АВ вспомогательную плоскость ABS, проходящую через вершину конуса. Соединим прямыми концы отрезка АВ (или его промежуточные точки) с проекциями вершины конуса   и найдем горизонтальные следы  прямых SA и SB. Точки M и N определят плоскость, пересекающуюся с конусом. Точки K1 и K2 пересечения этих образующих  с прямой АВ являются искомыми точками. На рис. 8.15 эта задача решена на комплексном чертеже. Горизонтальный след вспомогательной плоскости мог не пересечься с основанием конуса или только прикоснуться к нему. В этом случае прямая АВ не пересеклась бы  с поверхностью конуса или только прикоснулась бы к нему.

Рисунок 8.14

 

Рисунок 8.15

 

Пример 3. Найти точки пересечения прямой АВ с поверхностью шара  (сферой) (рис. 8.16).

Решение. Заданную прямую АВ заключаем  во вспомогательную плоскость, например в горизонтально проецирующую Р. Эта плоскость пересечется со сферой  по окружности диаметра 12, которая спроецируется на П₁ в отрезок прямой 1₁2₁, совпадающий с Р₁, а на П₂ – в эллипс. Чтобы избежать построения эллипса, целесообразно плоскость П₂ заменить новой плоскостью П₄║Р. На П₄ указанная окружность спроецируется в окружность l₄, выражающую ее натуральную величину. Диаметр этой окружности d=1₄2₄=1₁2₁=12, а центр ее совпадает с новой проекцией О₄ – центра сферы на П4. Далее строим проекцию А₄В₄ отрезка АВ заданной прямой . Точка М₄=А₄В₄l₄ и точка N₄=A₄B₄l₄ являются проекциями на П₄ искомых точек М и N – входа и выхода прямой АВ. Обратным переносом находим проекции этих точек на П₁ (M₁ и N₁) и на П₂ (M₂ и N₂).

Рисунок  8.15