5.4. Пересечение многогранника прямой

 

Задачи на определение точек пересечения прямой линии с многогранником решают в соответствии с алгоритмом построения точки пересечения прямой с плоскостью. Выпуклые многогранники пересекаются прямой линией в двух точках (рис. 5.5 – т. т. K и L).

 

Рис. 5.5

 

На рис. 5.5 прямая М заключена во фронтально-проецирующую плоскость Т. На горизонтальной проекции простроена горизонтальная проекция сечения пирамиды этой плоскостью ( 1₁2₁3₁), а также определены горизонтальные проекции точек пересечения прямой М со сторонами 123 К₁ и L₁. Фронтальные проекции этих точек и видимость прямой М определены путем ортогонального проецирования.

 

 

5.5. Взаимное пересечение многогранников

 

Что касается линии взаимного пересечения двух многогранников, то она определяется по точкам пересечения рёбер одного многогранника с гранями другого: это известная задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью (рис 5.6), хотя возможен вариант построения линии пересечения граней многогранников , т.е. линии пересечения двух плоскостей.

 

Рис. 5.6

 

На рис. 5.6 приведен пример построения линии пересечения прямой четырехгранной призмы и трёхгранной пирамиды. При решении задачи используем алгоритм построения точек пересечения ребер пирамиды (AS, BS и CS) с гранями призмы. Точки 7 и 8 пресечения пирамиды с одним ребром призмы с помощью горизонтально-проецирующей плоскости Р, проведенной через вершину пирамиды S и вышеуказанное ребро призмы.

В общем случае два многогранника пересекаются по линии, являющейся пространственным замкнутым многоугольником.

Линиями пересечения двух выпуклых многогранников являются один или два пространственных многоугольника.

При частичном пересечении многогранников имеет место неполное проницание или врезка, а при полном – полное проницание.

Следует помнить, что проекции линии пересечения двух многогранников всегда (!) располагаются внутри контура наложения одноименных проекций многогранников.

 

 

5.6. Пересечение многогранников с кривой поверхностью

 

Линия пересечения многогранника с кривой поверхностью состоит из плоских кривых, каждая из которых получается в результате сечения кривой поверхности одной из граней многогранника. Точки, в которых эти плоские кривые соединяются друг с другом, являются точками пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью.

Таким образом задача на построение линии пересечения многогранника с кривой поверхностью может быть сведена к задачам на пересечение кривой поверхности с плоскостью и прямой линией.

Построение линии пересечения начинают с определения опорных точек (точек пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью),  а затем определяют достаточное количество произвольных точек.

На рис. 5.10 показано построение линии пересечения трёхгранной призмы со сферой, а на рис. 5.11 – линии пересечения четырёхгранной призмы с цилиндром.

На рис. 5.10 одна из проекций линии пересечения (горизонтальная) известна, т.к. сливается с горизонтальной проекцией боковой поверхности призмы, что упрощает построение. Оно сводиться к нахождению фронтальных проекций точек принадлежащих поверхности сферы, по их горизонтальным проекциям. Так проекция С₂ найдена при помощи горизонтали на поверхности сферы: эта горизонталь имеет радиус О₁С₁. Точки А₂ и Е₂ получены на фронтальной проекции главного меридиана сферы по проекциям А₁ и Е₁, точка D₂ – на фронтальной проекции экватора. На задней грани линия пересечения – дуга с радиусом D₁З₁, а на боковых гранях – дуги эллипсов.

 

 

Рис .5.10

 

На рис. 5.11 каждая грань призмы пересекает цилиндрическую поверхность по эллипсу; эти эллипсы пересекаются между собой в точках, которые являются точками пересечения рёбер призмы с цилиндрической поверхностью. Фронтальные проекции этих точек определяются по их профильным проекциям. Для любой точки Е по её профильной проекции находим Е₂. Точки А₂ и В₂ определяются по их горизонтальным проекциям. 

 

Рис. 5.11