3.2 Следы плоскости

 

            Положение плоскости в пространстве может быть определено ее следами. Следами плоскости называются прямые линии, по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций.

            В общем случае плоскость имеет три следа – горизонтальный, фронтальный и профильный.

            На рис. 3.1. и в таблице 3.1. п.6  они обозначены соответственно P₁, P₂, P₃ (буквой Р обозначена заданная плоскость, а индексы 1, 2, 3 означают, с какой из плоскостей проекций пересекается плоскость Р).

            В точках P_x, P_y, P_z, лежащих на осях координат, следы плоскости пересекаются. Эти точки называются точками схода следов плоскости.

            Следы плоскости всегда можно построить, если положение плоскости в пространстве задано одним из перечисленных выше способов.

            Если прямая АВ (рис.3.1. а и б) лежит в плоскости Р, то она пересечет плоскость П₁ в точке М₁ расположенной на линии Р₁, т.е. горизонтальный след прямой, лежащей в плоскости, расположен на горизонтальном следе плоскости.

 

 

Рис. 3.1.

 

            Плоскость П₂ прямая АВ пересечет в точке  N, расположенной на линии Р₂.

            Иными словами, следы прямой, лежащей в плоскости, расположены на одноименных следах плоскости.

            Отсюда следует, что следы плоскости должны проходить через одноименные следы прямых, лежащих в плоскости.

            Чтобы построить след плоскости, необходимо определить следы двух прямых, лежащих в плоскости.

            На рис. 3.1. плоскость задана двумя пересекающимися прямыми АВ и СD. Чтобы построить горизонтальный след плоскости необходимо найти горизонтальный след прямой АВ – точку М и прямой СD – точку М¹. Горизонтальный след плоскости будет проходить через точки М и М¹.

            Фронтальный след плоскости Р₂ строится аналогично. Следует отметить, что для построения следа Р₂ достаточно иметь фронтальный след только одной прямой, так как второй точкой, определяющей положение следа Р₂ будет точка Р_х схода следов (точка пересечения ранее построенного следа Р₁ с осью х).

 

 

3.3 Принадлежность прямой и точки заданной плоскости

 

            Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости. Прямая MN (рис.3.2,а) расположена в  плоскости Р, заданной следами, поскольку две точки прямой М и N(горизонтальный и фронтальный её следы) принадлежат плоскости, т.е. расположены на её следах. Прямая 1-2 (рис.3.2, б) принадлежит плоскости, заданной параллельными прямыми, поскольку имеет с ней две общие точки.

 

Рис. 3.2

 

            Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, принадлежащей данной плоскости. Для того, чтобы построить в плоскости точку (рис. 3.2), необходимо провести в плоскости прямую, принадлежащую плоскости, а затем задать на ней точку Е, которая принадлежит прямой и, следовательно, и плоскости.

 

 

 

 

3.4 Плоскости общего и частного положения

 

            Различают частные и общие случаи расположения плоскости в пространстве относительно плоскостей проекций.

           

Плоскость общего положения. Плоскость, произвольно расположенная по отношению к плоскостям проекций, называется плоскостью общего положения (рис. 3.1).

            Проекции элементов, которыми задана такая плоскость (точки, прямые, следы плоскости, плоские фигуры), составляют случайные углы с линиями связи и осями проекций комплексного чертежа, т.е. располагаются произвольно и ни в одной проекции на вырождаются в более простой геометрический образ.

            Плоскости, перпендикулярные одной или двум плоскостям проекций называются плоскостями частного положения.

            Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций называется проецирующей плоскостью. Проецирующая плоскость, перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций называется горизонтально-проецирующей, к фронтальной – фронтально-проецирующей, к профильной – профильно-проецирующей.

            В прямоугольных проекциях плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций, параллельна направлению проецирования и поэтому является проецирующей.  Её проекция на этой плоскости вырождается в прямую; проекция на другую плоскость является неограниченным полем точек.

 

            Горизонтально-проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости РП₁ является неограниченное поле точек (табл. 3.2, п.1), горизонтальной – прямая Р₁. Горизонтальная проекция любой линии (точки, фигуры), лежащей в горизонтально-проецирующей плоскости, располагается на выродившейся в прямую горизонтальной проекции этой плоскости.

 

Фронтально-проецирующая плоскость. Горизонтальная проекция плоскости РП₂ представляет собой неограниченное поле точек (табл. 3.2, п.2), фронтальная проекция Р₂ вырождается в прямую. Фронтальная проекция любой точки, линии или фигуры, лежащих во фронтально-проецирующей плоскости, располагаются на выродившейся в прямую фронтальной проекции этой плоскости.

 

            Профильно-проецирующая плоскость. Профильная проекция плоскости РП₃, вырождается в прямую (табл. 3.2., п.3). Проекциями на плоскость П₁ и П₂ являются неограниченные поля точек. Профильная проекция любой линии (точки, фигуры), лежащей в профильно-проецирующей плоскости, располагается на выродившейся в прямую профильной проекции этой плоскости. Из рисунков в таблице 3.2. видно, что один след проецирующей плоскости (так называемый след-проекция) совпадает с выродившейся в прямую проекцией плоскости, а другой- перпендикулярен к оси проекций.

            Задание на комплексном чертеже проецирующих плоскостей следами изображено в таблице 3.2. и не нуждается в пояснениях (сопоставьте изображения каждой проецирующей плоскости в таблице).

            Заметим, что угол между следом-проекцией и осью проекции равен углу наклона проецирующей плоскости к плоскости проекций.

            На комплексном чертеже проецирующие плоскости чаще изображаются не следами, а своей проекцией, выродившейся в прямую. Вторая проекция, представляющая поле точек, безгранична и обычно не изображается и не обозначается.

 

Таблица 3.2  Положение плоскости относительно плоскости проекций.

 

№	Положение плоскости в пространстве	Наглядное изображение	Эпюр	Положение следов плоскости
1	Перпендикулярна плоскости П1 – горизонтально-проецирующая плоскость			Р1 – произвольно Р2 – перпендикулярно к оси X Р3 – перпендикулярно к оси Y
2	Перпендикулярна к плоскости П2 – фронтально-проецирующая плоскость			Р1 – перпендикулярно к оси X Р2 – произвольно Р3 – перпендикулярно к оси Z
3	Перпендикулярна к плоскости П3 – профильно-проецирующая плоскость			Р1 и Р2 – параллельны к оси X Р3 - произвольно
4	Параллельна плоскости П1 – горизонтальная плоскость			Р1 – отсутствует Р2 – параллельно оси X Р3 – параллельно оси Y
5	Параллельна плоскости П2 – фронтальная плоскость			Р1 – параллельно оси X Р2 – отсутствует Р3 – параллельно оси Z
6	Параллельна плоскости П3 – профильная плоскость			Р1 и Р2 – перпендикулярно к оси X Р3 - отсутствует

 

 

            Плоскость, параллельная плоскости проекций называется плоскостью уровня. Такая плоскость перпендикулярна к двум другим плоскостям проекций и, следовательно, по отношению к ним является проецирующей и проецируется на них в прямую линию. Плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций называется горизонтальной, параллельная фронтальной – фронтальной и параллельная профильной – профильной плоскостью уровня.

            В таблице 3.2. п. 4, 5, 6 изображены плоскости параллельные плоскостям проекций – плоскости уровня. Здесь же даны изображения этих плоскостей на комплексном чертеже.

            Плоскости уровня не имеют следа на параллельной себе плоскости проекций и проецируются на неё в неограниченные поля точек (эти проекции на комплексном чертеже не обозначаются и не ограничиваются).

            Итак, положение плоскостей уровня подчинено общему правилу: если плоскость параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется в поле точек. Её проекция на другой плоскости – прямая, перпендикулярная к линии связи.