5.7. Развертка многогранных поверхностей методом нормального сечения

 

Разверткой многогранника называется плоская фигура, составленная в определенном порядке из граней многогранника.

Развертку можно получить, если совместить все грани многогранника с плоскостью одной из его граней последовательным вращением их вокруг рёбер. Развёртка широко применяется при изготовлении изделий из листовых материалов.

Для построения развертки необходимо иметь все грани многогранника в натуральную величину.

В практике существуют три способа построения развертки многогранников.

Способ нормального сечения – для наклонных призм под произвольными углами к плоскостям проекций (алгоритм построения: пересекают призму плоскостью, перпендикулярной  к ребрам, находят натуральную величину фигуры сечения, строят развертку) – рис. 5.7.

 

Рис. 5.7

 

 

5.8. Развертка многогранных поверхностей методом раскатки

 

Способ раскатки (вращают грани призмы последовательно вокруг одного ребра до совмещения с плоскостью чертежа – получают боковые рёбра призмы и основания в натуральную величину) – для призм, у которых основания параллельны одной плоскости проекций, а боковые рёбра – другой (рис. 5.8).

 

Рис. 5.8

 

Пример: Построить развертку боковой поверхности наклонной трёхгранной призмы ABCDE (рис. 5.8)

 

Рис. 5.8

 

Решение: Примем за плоскость развертки плоскость Р, походящую через ребро AD, параллельную фронтальной плоскости проекции. Совместим грань ADEB с плоскостью Р. Для этого мысленно разрежем боковую поверхность призмы по ребру AD. А затем осуществим поворот грани ADEB вокруг ребра AD (A₂D₂).

Для нахождения совмещенного с плоскостью Р положения ребра В₀Е₀ из точки В₂ проводим луч, перпендикулярный к A₂D₂, и засекаем на нем дугой радиуса А₁В₁, проведенной из центра А₂, точку В₀. Через В₀ проводим прямую В₀Е₀, параллельную (A₂D₂).

Принимаем совмещенное положение ребра В₀Е₀ за новую ось вращения и поворачиваем вокруг неё грань BEFC до совмещения с плоскостью Р. Для этого из точки С₂ проводим луч, перпендикулярный к совмещенному ребру В₀Е₀, а из точки В₀ – дугу окружности радиусом, равным В₁С₁; пересечение дуги с лучом определит положение точки С₀. Через С₀ проводим С₀F₀ параллельно В₀Е₀. Аналогично находим положение ребра A₀D₀. Соединив точки A₂B₀C₀A₀ и D₂E₀F₀D₀ прямыми, получим фигуру  A₂B₀C₀A₀D₀F₀D₀E₀D₀ –  развертку боковой поверхности призмы. Для получения полной развертки призмы достаточно к к-л из звеньев ломаной линии A₂B₀C₀A₀  и  D₂E₀F₀D₀ пристроить треугольники основания А₀В₀С₀ и D₀E₀F₀.

 

 

5.9. Развертка многогранных поверхностей методом треугольников (триангуляции)

 

Способ триангуляции (треугольников) – применяют прежде всего для пирамид, в случае призм разбивают боковые грани их диагоналями; затем находят натуральную величину каждого треугольника-боковой грани и основания, после чего строят последовательно эти треугольники и основание на плоском чертеже (рис. 5.9).

Пример: Построить развертку боковой поверхности пирамиды SABC (рис. 5.9).

Решение: Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников – граней пирамиды. На рис. 5.9 определение длин ребер пирамиды выполнено с помощью вращения их вокруг оси i ? S и i  П₁. Путем вращения ребра пирамиды совмещаются с плоскостью Р (плоскость РП₂ и Р ? i). После того, как определены длины ребер S₂A₀, S₂B₀, S₂C₀, приступаем к построению развертки. Для этого через произвольную точку S₀ проводим прямую D. Откладываем на ней от точки S₀ (S₀A₀)  (S₂A₀). Из точки А₀ проводим дугу радиусом r_I = (А₁В₁), а из точки S₀ – дугу радиусом R_I = (S₂B₀).Пересечение дуг укажет положение вершины В₀  S₀A₀B₀  SAB – грани пирамиды. Аналогично находятся точки С₀ и А₀. Соединив точки А₀В₀С₀А₀, получим развертку боковой поверхности пирамиды SABC.

Полная развертка пирамиды получиться при построении на любой стороне основания его фигуры (в данном случае А₀В₀С₀). 

 

Рис. 5.9