- •Глава 1 Проекции точки.
- •1.2. Задание точки н комплексном чертеже Монжа (эпюр Монжа)
- •1.2.1 Пространственная (или декартовая) система координат. Плоскости проекций
- •1.2.2 Проецирование точки на две плоскости проекций. Четверти пространства
- •1.2.3 Проекции точки на три плоскости проекций. Октанты пространства
- •1.2.4 Точки проекций общего и частного положения.
- •1.3. Обратимость чертежа
- •Глава 2 Проекции прямой .
- •2.1. Проецирование прямой на три плоскости проекции.
- •2.2. Положение прямой относительно плоскости проекций.
- •2.3 Определение натуральной величины отрезка
- •2.4. Следы прямой.
- •2.5. Взаимное положение прямых в пространстве.
- •2.6. Конкурирующие точки.
- •2.7. Определение видимости точки
- •2.8. Теорема о проецировании прямого угла.
- •Глава 3 Проекции плоскости
- •3.1 Способы задания плоскости на эпюре
- •3.2 Следы плоскости
- •3.3 Принадлежность прямой и точки заданной плоскости
- •3.4 Плоскости общего и частного положения
- •3.5 Главные линии плоскости
- •3.6 Построение линии пересечения двух плоскостей
- •3.7. Построение точки пересечения прямой и плоскости
- •3.8 Параллельность прямой и плоскости
- •3.9 Перпендикулярность прямой и плоскости
- •3.10 Параллельность плоскостей
- •3.11 Перпендикулярность плоскостей
- •Примеры позиционных и метрических задач на плоскость
- •Глава 4 Методы преобразования комплексного чертежа (эпюра Монжа)
- •4.1. Четыре основных задачи на преобразование
- •4.2. Метод замены (перемены) плоскостей проекций
- •4.3. Метод плоско-параллельного перемещения
- •4.4. Метод вращения вокруг проецирующей прямой?
- •4.5 Метод вращения вокруг линии уровня
- •4.6. Метод вращения вокруг следов плоскости (совмещение)
- •Глава 5 Многогранники
- •5.1. Задание многогранников на эпюре Монжа (общие положения)
- •5.2. Виды многогранников
- •5.3. Пересечение многогранника плоскостью
- •5.4. Пересечение многогранника прямой
- •5.5. Взаимное пересечение многогранников
- •5.6. Пересечение многогранников с кривой поверхностью
- •5.7. Развертка многогранных поверхностей методом нормального сечения
- •5.8. Развертка многогранных поверхностей методом раскатки
- •5.9. Развертка многогранных поверхностей методом треугольников (триангуляции)
- •Глава 8. Обобщенные позиционные задачи.
- •8.1 Пересечение кривой поверхности плоскостью.
- •8.3 Построение линии пересечения двух поверхностей методом вспомогательных секущих плоскостей (плоскостей посредников) Взаимное пересечение поверхностей
- •8.4 Построение линии пресечения двух поверхностей методом секущих сфер (концентрических сфер посредников)
- •8.5 Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка.
- •Глава 10. Касательные плоскости.
- •10.1.Построение плоскости, касательной к кривой поверхности.
- •10.2. Построение очертаний поверхности на комплексном чертеже.
- •Глава 11 Аксонометрические проекции.
- •11.1. Основные понятия и определения.
- •11.3. Треугольник следов и его свойства. Теорема Польке.
- •11.4. Прямоугольная аксонометрия и ее свойства.
- •Построение в изометрической проекции плоских фигур.
- •Построение аксонометрической проекции окружности.
- •Разрез в аксонометрических проекциях.
- •11.5. Способы построения трехмерного чертежа.
- •11.6. Построение теней в аксонометрии.
- •Литература
- •Глава 12 тени в ортогональных проекциях
- •12.1. Геометрические основы теории теней
- •12.2. Построение тени от точки
- •12.3. Построение тени от прямой
- •12.4 Построение тени от плоской фигуры
- •12.5 Метод обратных лучей
- •12.6. Построение теней геометрических тел
- •12.7 Собственные и падающие тени на фасадах зданий
10.2. Построение очертаний поверхности на комплексном чертеже.
Касательные плоскости широко применяются при решение различных позиционных задач на поверхности.
1. Построение касательных плоскостей к поверхностям является основой теорией теней. При построении теней касательные плоскости к поверхностям строят или проходящими через точку, лежащую на поверхности, или параллельными заданному направлению.
2. Касательными плоскостями к поверхностям конуса и цилиндра, параллельными заданному направлению, пользуются для определения наиболее близкой и наиболее удаленной от плоскостей проекций точек кривой линии пересечения этих тел плоскостью общего положения, не строя эти кривые (см. Бубеннщив § 68).
3. Касательные плоскости используют при построении соприкасающихся однополосных гиперболоидов вращения при проектировании гиперболических зубчатых колес. В передачах с перекрещивающимися валами. (см. Бубеннщив § 68)
4. Касательные плоскости применяются и при построении очертаний поверхностей (очерков).
Рассмотрим эту задачу более подробно.
Как известно, очерк поверхности (тела) получается как проекция контурной линии на заднюю плоскость проекций (например П1) (см. рис. 7.5). Напомним, что контурная линия – это линия, по которой множество плоскостей Р, перпендикулярных плоскости П1, касаются данного тела Т (рис. 10.13) . Огибающей этого семейства касательных плоскостей будет некоторая цилиндрическая лучевая поверхность Ф, тоже перпендикулярная П1.
Рисунок 10.13
Контурная линия m делит тело на две части, одна из которых видимая на заданной плоскости проекций П1, а другая невидимая. В любой точке на контурной линии обе поверхности – тело и цилиндрическая лучевая – имеют общую касательную плоскость Р. Линия пересечения m1 лучевой цилиндрической поверхности Ф с плоскостью П1 и является очерком тела. Если при этом принять, что цилиндрическая лучевая поверхность состоит из световых лучей, касающихся непрозрачного тела, то очерк тела – линия, ограничивающая тень тела на плоскости П1. Эту линию на плоскостях проекций называют также линией видимости.
На рисунке 10.13 видно, что очерком шара плоскости П1 будет проекция экватора m (m1), которая на плоскость П2 спроецируется в виде прямой параллельной оси ОХ. Очерком шара на плоскости П2 будет проекция его главного меридиана.
На рисунке 10.14 будет прямоугольник (главный меридиан). Очерк на плоскости П1 определяется двумя касательными лучевыми плоскостями перпендикулярными к плоскости П1. Эти плоскости касаются цилиндра по двум крайним образующим АВ и СD, проекции которых на плоскости П2 совпадают. Горизонтальные проекции А1В1 и С1D1 вместе с наружными поверхностями (проекциями кругов оснований) и определяют очерк цилиндра на плоскости П1.
Рисунок 10.14
В общем случае для построения очерка тела на плоскости П1 надо сначала на плоскости П2 построить проекцию контурной линии, по которой тело обертывается цилиндрической лучевой поверхностью, а затем спроецировать ее на плоскость П1.
Построение контурной линии проще всего осуществить с помощью вписанных сфер.
Пример 8. Построить на горизонтальной проекции очерк конуса, ось которого i параллельна плоскости П2 и наклонена к плоскости П1. (рис. 10.15)
Решение. Не трудно видеть, что очерк конуса на плоскости П2, ограниченный главным меридианом m, полностью задает форму поверхности конуса.
Рисунок 10.15
А для построения горизонтального очерка из любой точки С (С2) лежащей на оси i, проводим сферу, касающуюся конуса по окружности k (k2). Ее фронтальная проекция является прямой перпендикулярной оси (i2), как соосные тела.
Проводим через центр сферы экватор q2 и находим точку А2 его пересечение с окружностью k2. Соединив точки S2 и А2 получим контурную линию. Спроецировав точку А2 на горизонтальную проекцию экватора получим две точки А1, которые вместе с вершиной S1 и задают горизонтальный очерк контура n1. Заметим, что фронтальная проекция n2 горизонтального очерка не совпадает с проекцией оси i2.
Пример 9. Построить на горизонтальной проекции П1 Очерк деталей вращения, ось I которой параллельна плоскости П2 и наклонена к плоскости П1. Поверхность детали состоит из конуса вращения (S, k) и тора, образующей которого является дуга окружности радиусом R с центром в точке О. (рис. 10.16)
Рисунок 10.16
Решение:
1. Очерк фронтальной проекции – это главный меридиан – полностью задает форму детали.
2. Очерк горизонтальной проекции составляется из эллипса верхнего основания, пространственной кривой и очерка конуса.
3. Эллипс строим по двум осям – малой 1121 и большой 1222.
4. Очерк конуса строим по примеру 8 (рис. 10.15 ).
5. Далее необходимо построить контурную l2 линию, по которой цилиндрическая лучевая поверхность перпендикулярная к плоскости П1, касается поверхности тора.
6. Для построения контурной линии на поверхности тора впишем в него ряд сфер. Центры сфер С2 лежат в точках пересечения оси вращения i2 с радиусом R, проведенным из точки О2 к меридиану. Сферы касаются тора по параллелям k2.
7. Плоскости, касательные к тору, являются касательными и вспомогательных сфер в точках А2 пересечения экваторов q2 сфер параллелями k2.
8. Горизонтальные проекции А1 этих точек определяются в пересечении линий связи с горизонтальной проекцией экватора q1.
9. Аналогичными построениями находят еще ряд точек (например В2). Множество точек образуют контурную пространственную кривую l2.
10. Горизонтальная проекция l1 даст очертания тора.
11. Итак, очерком детали является составная плоская кривая из очерков контура n1, тора l1 и эллипса.