3.3. Последовательности символьных команд

Символьные вычисления допускается проводить с применением цепочек ключевых слов. Для этого ключевые слова, соответствующие последовательным символьным операциям, должны быть введены по очереди с палитры Symbolic (Символы).

Пример 1. Фурье-преобразование, разложение в ряд и расчет:

Пример 2. Z-преобразование и разложение на простые дроби

Сохраните полученный результат.

Выводы:

1. Символьное преобразование арифметических и алгебраических выражение, а также символьное решения ряда задач математического анализа можно осуществить с помощью панели инструментов Math (Математика) и открываемых с ее помощью палитр Calculator (Арифметика) и Symbolic (Символы)

2. Аналогичные команды есть в меню Symbolics (Символы).

3. Результаты преобразований по желанию пользователя могут быть размещены горизонтально (правее исходного выражения) либо ниже исходного выражения.

4. Команды меню Symbolics (Символы) целесообразно использовать, если требуется «сиюминутно» провести некоторые аналитические действия с выражением и получить ответ в общем виде, не учитывающем текущие значения переменных, входящих в выражение.

Лабораторное занятие 4. Численные методы

1. Интегрирование и дифференцирование

Интегрирование и дифференцирование – самые простые, с вычислительной точки зрения, операции, реализованные в MathCAD в виде операторов. Тем не менее, если расчеты выполняются с помощью вычислительного процессора, то для эффективного использования MathCAD необходимо хорошо представлять себе особенности численных алгоритмов, действие которых остается для пользователя «за кадром».

1.1. Интегрирование

Интегрирование в MathCAD реализовано в виде вычислительного оператора. Допускается вычислять интегралы от скалярных функций в пределах интегрирования, которые должны быть скалярными. Несмотря на то, что пределы интегрирования обязаны быть действительными, подынтегральная функция может иметь и комплексные значения, поэтому и значение интеграла может быть комплексным.

Операторы интегрирования сосредоточены на палитре Calculus (Матанализ). Оператор интегрирования содержит несколько местозаполнителей, в которые нужно ввести нижний и верхний интервалы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирования.

Рис. 29. Оператор интегрирования

Задание 1. Вычислить значение определенного интеграла :

Порядок выполнения задания:

1. Откройте новый документ MathCAD.

2. Введите текстовое поле Задание 1.

3. С помощью панели инструментов Math (Математика) создайте информационную среду для выполнения операций интегрирования: откройте палитры Calculus (Матанализ), Greek (Греческий алфавит), Calculator (Арифметика).

4. С помощью палитры Calculus введите оператор определенного интеграла.

5. Последовательно заполните все местозаполнители.

6. Выделите все выражение целиком синей рамкой, и выполните интегрирование численным методом, нажав клавишу Равно. Результат интегрирования будет равен 2.

7. Сохраните результаты работы в своей папке под именем Интегралы.

Можно вычислять интегралы с одним или обоими бесконечными пределами. Для вычисления этого интеграла можно воспользоваться и символьным методом. Однако символьное интегрирование возможно только для небольшого круга несложных подынтегральных функций.

Подынтегральная функция может зависеть от любого количества переменных. Именно для того, чтобы указать, по какой переменной MathCAD следует вычислять интеграл, и нужно вводить ее имя в соответствующий местозаполнитель. Для численного интегрирования по одной их переменных предварительно следует задать остальные переменные, от которых зависит подынтегральная функция и для которых вы намерены вычислять интеграл. Интегрирование функция двух переменных по разным переменным выглядит так:

Задание 2. Выполните эти операции в MathCAD и сохраните изменения в текущем документе.

Результат численного интегрирования – это не точное, а приближенное значение интеграла, определенное с погрешностью, которая зависит от константы TOL. Чем она меньше, тем с лучшей точностью будет найден интеграл, но и тем больше времени будет затрачено на его расчет. По умолчанию TOL=0.001. Его значение можно изменить, используя вкладку Built-In Variables (Переменные) диалоговое окно Math Options (Параметры), которое вызывается командой Math, Options (Математика, Параметры).

Разработчики MathCAD запрограммировали четыре численных метода интегрирования:

1. Romberg (Ромберга) – для большинства функций, не содержащих особенностей;

2. Adaptive (Адаптивный) –для функций, быстро меняющихся на интервале интегрирования.

3. Infinite Limit (Бесконечный предел) – для интегралов с бесконечными пределами.

4. Singular Endpoint (Точка сходимости) – для интегралов с сингулярностью на конце. Модифицированный алгоритм Ромберга для функций, не определенных на одном или обоих концах интервала интегрирования.

Пользователь имеет возможность выбирать сам алгоритм численного интегрирования. Для этого:

• щелкните правой кнопкой в любом месте на левой части вычисляемого интеграла;

• в появившемся контекстном меню выберите один их четырех численных алгоритмов.

Обратите внимание на то, что в контекстном меню по умолчанию установлен флажок Auto Select (Автоматический выбор). Это означает, что алгоритм определяется системой, исходя из анализа пределов интегрирования и особенностей подынтегральной функции. Как только один из алгоритмов выбран, этот флажок сбрасывается, а избранный алгоритм отмечается точкой на переключателе.

MathCAD позволяет вычислит кратные интегралы. Численное и символьное вычисление кратного интеграла имеет вид:

Задание 3. Выполните эти операции и сохраните результаты в текущем документе.

Если интеграл расходится (равен бесконечности), то вычислительный процессор может выдать сообщение об ошибке (сведения об ошибках приведены в приложении 1).

Рис. 30. Сообщение об ошибке

Тем не менее, символьный процессор справляется с этим интегралом:

Символьный процессор позволяет вычислить интеграл с переменным пределом и неопределенный интеграл: