3.4. Линейное программирование

Задача поиска условного экстремума функции многих переменных часто встречается в экономических расчетах для минимизации издержек, финансовых рисков, максимизации прибыли и т.п. Целый класс экономических задач описывается системами линейных уравнений и неравенств. Они называются задачами линейного программирования. К задачам линейного программирования относится так называемая транспортная задача, которая решает одну из проблем оптимальной организации доставки товара потребителям с точки зрения минимизации затрат не перевозки.

Модель типичной транспортной задачи: пусть имеется N предприятий-производителей, выпускающих продукцию в количестве b₀,…,b_N-1 тонн. Эту продукцию требуется доставить M потребителям в количестве a₀,…,a_M-1 тонн каждому. При этом затраты на перевозки должны быть минимальными.

Здание 16. Используя предложенную модель, получите решение транспортной задачи, выполнив следующую последовательность операций:

1. Откройте новый документ.

2. Введите численное значение векторов a и b, например:

3. Для корректного использования возможностей программы MathCAD необходимо определить в документе число элементов, входящий в эти векторы. Для этого можно применить соответствующие встроенные функции:

4. Сумма всех заказов потребителей должна быть равна сумме произведенной продукции. Проведите эту проверку:

5. Пусть стоимость перевозки тонны продукции i-го производителя к j-му потребителю c_ij задается следующей матрицей:

6. Тогда целевая функция, определяющая транспортные расходы будет иметь вид:

Здесь x_i,j – количество продукции i-го производителя, поставляемое j-му потребителю.

7. Введем требования по точности вычислений и начальные значения:

8. Затем внутри блока Given следует записать условия, выражающие неотрицательность товаропотока, и равенства, задающие сумму произведенной каждым предприятием продукции и сумму заказов каждого потребителя:

9. Для получения решения следует использовать встроенную функцию:

Эта матрица фактически представляет собой план перевозок, обеспечивающий минимум целевой функции:

Лабораторное занятие 5. Матричные вычисления

Матричные вычисления можно условно разделить на несколько типов. Первый тип – это простейшие действия, которые реализованы операторами и некоторыми функциями, предназначенными для создания, объединения, сортировки, получения основных свойств матриц и т.п. Второй тип – это более сложные функции, которые реализуют алгоритмы вычислительной линейной алгебры, такие как решение системы линейных уравнений, вычисление собственных векторов и собственных значений, различные матричные разложения.

1. Простейшие операции с матрицами

Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MathCAD в виде операторов. Различают матричные и векторные операции. Векторы являются частным случаем матриц размерностью N×1, поэтому для них справедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения особо не оговорены.

1. Транспонирование

Транспонированием называют операцию, переводящую матрицу размерностью M×N в матрицу размерности N×M, делая столбцы исходной матрицы строками, а строки – столбцами. Ввод символа транспонирования осуществляется с помощью палитры Матрицы (Matrix) или нажатием клавиш Ctrl и 1.

Задание 1.

1. Открыть новый документ.

2. Реализовать примеры, представленные на рис. 34.

Рис. 35. Примеры транспонирования матриц

3. Результаты сохранить в отдельном документе.