7.2. Дифференциальные уравнения динамического пограничного слоя

Дифференциальные уравнения динамического пограничного слоя получаются на основе дифференциальных уравнений движения и неразрывности. Рассмотрим вывод уравнений для двумерного стационарного течения вдоль оси x. Влиянием массовых сил пренебрегаем.

Выпишем исходные уравнения Навье-Стокса в безразмерном виде, введя характерные масштабные множители:

.

(1)

Проведём оценку порядка величин входящих в уравнения (1). Сущность оценки порядка величины можно понять на следующем примере. Если какая-то величина z меняется в диапазоне от 0 до z₀, то мы говорим, что это величина порядка z₀, а безразмерная величина будет иметь порядок 1. В нашем случае в пограничном слое скорость w_x меняется от 0 до w_x0, значит имеет порядок 1, x меняется от 0 до , значит имеет порядок 1. В пределах пограничного слоя y меняется от 0 до , значит y имеет порядок , а величина порядка .

Оценка для всех членов уравнений (1) выглядит следующим образом:

(2)

(3)

В пределе при получим систему дифференциальных уравнений динамического пограничного слоя:

(4)

или в размерном виде:

(5)

Как следует из вывода, уравнения пограничного слоя строго справедливы только при числе Рейнольдса Re→∞, при этом по толщине пограничного слоя давление не изменяется, а поперечная скорость потока w_y пропорциональна толщине пограничного слоя и может быть выражена следующим образом:

Из оценки величины числа Рейнольдса можно получить выражение для оценки толщины динамического пограничного слоя:

(6)

Существует также понятие теплового пограничного слоя – это область течения вблизи обтекаемой поверхности, в которой температура потока изменяется от температуры стенки до температуры внешнего течения.

Дифференциальное уравнения теплового пограничного слоя можно получить тем же методом оценки порядка величин и для рассматриваемого случая оно выглядит следующим образом:

, (7)

при этом уравнение теплового пограничного слоя существует при .

Из оценки величины числа Пекле можно получить выражение для оценки толщины теплового пограничного слоя:

(8)

При течении жидкости без градиента давления и Pr=1 безразмерная форма уравнений движения (4) и энергии (7) полностью совпадают, а значит, совпадают и их решения. С точки зрения теории пограничного слоя это означает, что тепловой и динамический пограничные слои будут иметь одинаковую толщину по всей дине пластины.

(8)

При Pr<1 тепловой пограничный слой будет больше динамического , при Pr>1 наоборот меньше .

Полученные дифференциальные уравнения пограничного слоя проще соответствующих полных дифференциальных уравнений Навье-Стокса. Тем не менее, аналитические решения данной системы уравнений существуют только для нескольких частных случаев, таких как течение над проницаемой пластиной с отсосом газа из пограничного слоя, течение в гладкой трубе и ряд других. Разработаны надёжные и экономичные методы численного интегрирования данной системы уравнений, позволяющие получить решения для широкого круга задач и граничных условий. В частности решение уравнений (5) для задачи определения сопротивления плоской непроницаемой пластины набегающему потоку воздуха под нулевым углом атаки впервые было получено Блазиусом:

(9)

Процесс численного интегрирования зачастую становится громоздким и трудоемким. В этой связи большое значение приобрели приближенные методы решения указанных уравнений, основанные на применении так называемых интегральных соотношений импульсов и энергии. Интегральные соотношения получаются в результате интегрирования дифференциальных уравнений движения и энергии по толщине пограничного слоя. Интегральные уравнения пограничного слоя являются балансовыми для рассматриваемого сечения пограничного слоя и сами по себе точные, по крайней мере, в рамках теории пограничного слоя. Приближенный характер решения этих уравнений обусловлен способом их замыкания.