2.4. Передача тепла через цилиндрическую стенку

2.4.1. Уравнение энергии в цилиндрических координатах

В реальных условиях плоских стенок с бесконечно большой площадью не существует. Как правило, задачи теплообмена сводятся к анализу теплового состояния замкнутых полостей или протяжённых каналов. Простейшим случаем является теплопередача через стенки достаточно длинной трубы. Труба обладает радиальной симметрией, и теплота передаётся только в направлении радиуса трубы. Соответственно в одномерном приближении исходное дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах можно получить следующим образом.

Выделим бесконечно малый объём газа и рассмотрим тепловой баланс этого объёма. Изменение всех параметров процесса по координате равно 0.

В отсутствии внутренних источников теплоты, теплота подведённая к системе за единицу времени может быть записана следующим образом:

Член изначально необходимо рассматривать как приращение количества теплоты не за счёт приращения угла , а за счёт приращения длины дуги l по радиусу r  по аналогии с задачей теплопроводности в декартовой системе координат.

Запишем выражения для плотности теплового потока в виде:

,

где, согласно закону Фика:

По закону Фика тепловой поток пропорционален градиенту температуры по направлению. В данном случае это дуга l по радиусу r 

С учётом закона Фика дифференциальное уравнение теплообмена можно получить в виде:

(6)

2.4.2. Граничное условие первого рода

В стационарных условиях при равномерном распределении температуры по стенкам трубы дифференциальное уравнение теплообмена упрощается и возможно получить его точное решение.

Таким образом, уравнение, описывающее теплопередачу через цилиндрическую стенку можно записать следующим образом:

(7)

Введём новую переменную , тогда:

Константы интегрирования определим из граничных условий:

В итоге получаем следующее выражение для температуры внутри стенки трубы:

(8)

Полный тепловой поток через изотермическую поверхность можно оценить по закону Фурье в виде:

, (9)

где L  длина трубы. Величину называют внутренним термическим сопротивлением цилиндрической стенки или линейным внутренним термическим сопротивлением цилиндрической стенки, мград/Вт. Величина  линейная плотность теплового потока, Вт/м. Тогда с учетом выражения для q_l формулу (9) можно переписать следующим образом

(10)

Анализ теплопроводности многослойных стенок трубы приводит к следующему выражению для теплового потока, полученному из (10) с учетом аналогичного подхода, как и для плоской стенки (см. соотношение (5)).

(11)

В случае тонкостенной конструкции, когда d₂/d₁2 (в реальности для почти всех труб выполняется такое условие) логарифмическим профилем температуры можно пренебречь и можно использовать следующую упрощенную формулу:

,

где  толщина стенки, м, d_ср – средний диаметр трубы, м.

2.4.3. Граничное условие третьего рода

Для задач теплопередачи в сложных условиях (с учетом конвекции, излучения и т.д.) применяют формулу вида:

(12)