2.3. Передача тепла через плоскую стенку в стационарных условиях

2.3.1. Граничное условие первого рода

Передача тепла через плоскую твёрдую однородную стенку в стационарных условиях является частным случаем общей задачи теплообмена, позволяющий существенно упростить дифференциальное уравнение теплообмена и получить его точное решение. Вместе с тем такие процессы очень часто встречаются в технике.

Упрощение, связанное со стационарностью процесса позволяет исключить левую часть уравнения (10). Поскольку стенка является твёрдой конвективный перенос тепла отсутствует. Полагая, что толщина стенки намного меньше её высоты процессы теплообмена можно рассматривать только в одном направлении – поперёк стенки. Таким образом, уравнение, описывающее теплопередачу через стенку можно записать следующим образом:

(1)

Проинтегрировав уравнение (1) найдём:

Константы интегрирования определим из граничных условий:

Плотность теплового потока в соответствии с законом Фурье можно записать следующим образом:

(2)

Соотношение /, Вт/(м²град) называется тепловой проводимостью плоской стенки, а обратная величина /  внутренним термическим сопротивлением, м²град/Вт.

Рассмотрим теперь теплопроводность плоской многослойной стенки, состоящей из n слоев. На границе раздела двух слоев возникает контактное термическое сопротивление, обусловленное неплотным соприкосновением поверхностей. Термическое сопротивление контакта в отдельных случаях может быть пренебрежимо малым, но иногда общее тепловое сопротивление многослойной стенки благодаря сопротивлению в местах контакта увеличивается в несколько раз.

Оценим температурное поле и тепловой поток теплопроводностью через многослойную стенку с учетом контактных сопротивлений. Каждый слой имеет заданную толщину и коэффициент теплопроводности

Выражая разности температур по толщине каждого слоя стенки (с учётом контактного сопротивления) и проводя суммирование по вcем слоям получим:

В итоге плотность теплового потока через многослойную стенку, с учётом контактных сопротивлений можно рассчитать по формуле:

(3)

2.3.2. Граничное условие третьего рода

Для получения расчетной формулы теплового потока при теплопередаче, учитывающей все виды теплопереноса у поверхности, рассмотрим теплопроводность многослойной плоской стенки. Стенка состоит из n слоев с известными толщинами и коэффициентами теплопроводности. Известны также контактные термические сопротивления между отдельными слоями. Теплоносители имеют температуры T_Ж1 и T_Ж2, а интенсивность их теплообмена с поверхностями стенки определяется коэффициентами ₁ и ₂.

При стационарном режиме теплообмена плотности теплового потока от первого теплоносителя к стенке, через стенку и от стенки ко второму теплоносителю одинаковы. С учетом формул для многослойной плоской стенки плотности теплового потока определяются выражениями:

(4)

Выразив из этих уравнений разности температур в явном виде и просуммировав левые и правые части полученных равенств, найдем формулу для плотности теплового потока:

(5)

Величина k носит название коэффициента теплопередачи, Вт/(м²град). Численно он равен количеству теплоты, передаваемому через единицу площади поверхности в единицу времени при разности температур в 1 градус.

Из формулы (5) видно, что термическое сопротивление стенки складывается из: внешних термических сопротивлений 1/_i, внутренних термических сопротивлений _i/_i и контактных термических сопротивлений R_K.