1.2. Закон Фурье

Основным законом теплопроводности является предложенная Фурье гипотеза о пропорциональности теплового потока температурному градиенту:

, (3)

где:  вектор теплового потока, связанный с механизмом теплопроводности,  коэффициент теплопроводности и  температурный градиент.

В проекциях на оси координат уравнение (3) может быть записано следующим образом:

(4)

Величина коэффициента теплопроводности зависит от природы вещества, его структуры, температуры и других факторов. Наибольшим коэффициентом теплопроводности обладают металлы, наименьшим  газы.

1.3. Дифференциальное уравнение энергии

Дифференциальное уравнение энергии определяет распределение температуры в теле. Допущения:

1. Тело однородно и изотропно;

2. Физические параметры тела постоянны

2. Деформация за счет изменения температуры малы по сравнению с линейными размерами тела;

4. Внутренние источники теплоты распределены в теле равномерно.

Вывод дифференциального уравнения теплообмена основан на законе сохранения энергии. Если пренебречь кинетической и потенциальной энергией системы, то закон сохранения энергии запишется в виде первого начала термодинамики:

, (5)

где U – внутренняя энергия системы.

Для простоты, рассмотрим вывод дифференциального уравнения энергии для двумерного (плоского) процесса переноса теплоты в жидкости или газе. Для этого необходимо в рассматриваемой области выделить бесконечно малый объём газа и рассмотреть тепловой баланс этого объёма. Изменение всех параметров процесса по координате z равно 0.

Так как стенки контрольного объёма проницаемы для теплоносителя, то давление внутри объёма остаётся постоянным. С учётом нестационарности процесса и связи энтальпии и температуры теплоносителя, уравнение (5) можно записать в виде:

. (6)

Теплота, подведённая к объёму за счёт всех механизмов теплопереноса, идёт на увеличение энтальпии (температуры) теплоносителя. В отсутствии внутренних источников теплоты, теплота, подведённая к системе за единицу времени, определяется как разность между вошедшим и вышедшим количеством теплоты и может быть записана следующим образом:

(7)

Вводя понятие плотности теплового потока уравнение (7) можно переписать в виде:

(8)

Приравнивая выражения (6) и (8) и выражая массу теплоносителя через плотность и элементарный объем, получим дифференциальное уравнение энергии при отсутствии внутренних источников теплоты в следующем виде:

(9)