8.9. Экономико-математический анализ полученных оптимальных решений

Оптимальное решение задачи линейного программирования су­щественно зависит от реальной экономической ситуации, склады­вающейся на предприятии. На решение задачи могут повлиять сле­дующие экономические ситуации:

1. изменение запасов ресурсов;

2. внедрение нового технологического способа производства, позволяющего снизить расход сырья А и В;

3. происшедшие изменения в ценовой политике на предприя­тии;

4. предполагается выпуск нового вида продукции.

Результаты влияния данных экономических ситуаций на опти­мальное решение можно получить в ходе проведения экономико-математического анализа модели на чувствительность.

Анализ на чувствительность оптимального решения базируется на следующих свойствах двойственных оценок.

1. Двойственные оценки характеризуют дефицитность ресур­сов. Величина и, в оптимальном решении двойственной задачи яв­ляется оценкой i-го ресурса; чем больше значение оценки u_i тем выше дефицитность ресурса. Для недефицитного ресурса u_i = 0.

2. Двойственные оценки показывают, как влияют изменения правой части ограничений (запасов ресурсов) на значение целевой функции. Практический интерес представляют границы (нижняя и верхняя) изменения ресурсов, в которых величины оценок остают­ся неизменными.

3. Двойственные оценки являются показателем эффективности производства отдельных видов продукции с позиции критерия оп­тимальности. С этой точки зрения в оптимальный план может быть включена лишь та продукция j-го вида, для которой выполняется условие

где u_i — оптимальное значение двойственной оценки i-го ресурса;

— технологические коэффициенты;

c_j -доход получаемый с единицы продукции j-го вида;

т — количество видов ресурсов.

4. Двойственные оценки позволяют провести сравнение сум­марных условных затрат и результатов.

Это свойство следует из принципа двойственности, в котором устанавливается связь между значениями функции прямой и двойственной задач, т. е. Z_max = Z_min (п. 7.8). Это означает, что оценка! всех затрат производства должна равняться оценке произведенного! продукта.

Используя данные свойства двойственных оценок, проведем анализ изменений исходной задачи, которые могут привести к не­допустимости и неоптимальности решения.

Обратимся к конкретной задаче и проиллюстрируем примене­ние анализа оптимального решения на чувствительность на приме­ре задачи оптимизации ассортимента выпускаемой продукции (пример 8.2).

Составим математические модели прямой и двойственной задач.

прямая задача:

максимизировать доход

(8.65)

при ограничениях

(сырьё А)

(сырьё В) (8.66)

(спрос)

(спрос)

(8.67)

двойственная задача:

минимизировать

(8.68)

при ограничениях

(8.69)

(8.70)

Установив соответствие между переменными обеих задач и решая задачи симплекс-методом, запишем итоговую таблицу с опти­мальным решением (табл. 8.5).

В таблице v₁ , v₂ — выравнивающие переменные двойственной задачи; х₃, х₄, х₅, х₆ — выравнивающие переменные прямой задачи; и_i — двойственная оценка i-го ресурса ().

Таблица 8.5