2.2. Электрические цепи с активным сопротивлением, индуктивностью и ёмкостью

В цепях с изменяющимися во времени токами, кроме процессов преобразования электроэнергии в другие виды энергии, наблюдаются процессы, обусловленные изменением энергии магнитных и электрических полей. Чтобы учесть эти процессы при построении электрических схем, используют три параметра: активное сопротивление R, индуктивность L, емкость С, характеризующие такие элементы цепи, как резисторы, катушки и конденсаторы.

Сопротивление цепи переменного тока, в котором происходит необратимое преобразование электрической энергии в тепловую, называется активным сопротивлением R.

В цепи с активным сопротивлением рис. 4, а ток совпадает по фазе с приложенным напряжением, т.е. =0 (рис. 4, б, в)

Рисунок 4. Схема (а), временная (б), и векторная диаграммы цепи с резисторным элементом

Действующие значения тока и напряжения связаны законом Ома:

.

Индуктивным элементом называется идеализированный элемент электрической цепи (), приближающийся по свойствам к индуктивной катушке, в которой накапливается энергия магнитного поля. При этом термин «индуктивность» характеризует свойство цепи накапливать энергию магнитного поля. Она является количественной оценкой отношения потокосцепления рассматриваемого контура к току, его создающему:

.

При переменном токе сопровождающее его магнитное поле изменяется во времени. На основании закона электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла появляется ЭДС самоиндукции

.

По закону Ленца, выражающему принцип электромагнитной инерции, эта ЭДС противодействует изменению потокосцепления, что и учитывается знаком минус.

Если L не зависит от i, т.е. рассматриваемая цепь линейна, то

.

Величина:

называется падением напряжения в индуктивности. Для цепи с индуктивностью (рис. 5, а), где

т. е. индуктивное падение напряжения опережает ток на 90° (рис. 5, б, в).

Рисунок 5. Схема (а), временная (б), и векторная диаграммы цепи с индуктивной катушкой

Действующее значение напряжения

.

Величину принято называть реактивным индуктивным сопротивлением и обозначается через X_L

, [Ом].

При рассмотрении реальных катушек необходимо учитывать, что в отличие от идеальных, их активное сопротивление R_L не равно 0.

Емкость учитывает влияние изменяющегося электрического поля элементов цепи и может быть определена как отношение заряда к напряжению на емкостном элементе:

.

При включении емкости при напряжение (рис. 6, а) в цепи появляется ток:

Следовательно, ток опережает напряжение на емкости на 90°(рис. 6, б, в)

Рисунок 6. Схема (а), временная (б), и векторная диаграммы цепи с идеальным конденсатором

Действующее значение тока:

.

Величина , имеющая размерность сопротивления (Ом), называется реактивным емкостным сопротивлением и обозначается X_C: .

2.3. Последовательное соединение элементов с параметрами r, l, с

Схема неразветвленной цепи синусоидального тока представлена на рис. 7. Энергетическое состояние цепи описывается для мгновенных значений уравнением:

, ,

Рисунок 7. Схема последовательного соединения элементов цепи

Если то напряжение на входных зажимах будет также изменяться по синусоидальному закону в силу линейности рассматриваемой цепи. После несложных преобразований дифферен­циальное уравнение цепи можно привести к виду:

Это уравнение позволяет построить временную диаграмму, которая полностью отражает амплитудные и фазовые соотношения в последо­вательной цепи. Для практических расчетов применяют векторные диаграммы, которые делают расчет цепи более наглядным и простым.

Под векторной диаграммой цепи понимают совокупность векторов ЭДС, напряжений и токов электрической цепи, построенных с соблюдением их взаимной ориентации по фазе. Так как чаще при анализе и расчете электрической цепи пользуются действующими значениями токов и напряжений, векторную диаграмму, как графическую интерпретацию расчета цепи, строят также для действующих значений напряжений и токов. При построении векторной диаграммы в качестве исходного вектора удобнее выбрать вектор величин, одинаковой для нескольких элементов цепи. В последовательной цепи (рис. 7) по всем участкам проходит один и тот же ток, поэтому за исходный вектор выбирается вектор тока и относительно его строятся под углом сдвига векторы напряжений на всех участках.

На топографической векторной диаграмме каждая точка соответствует определенной точке электрической цепи. Чтобы осуществить это соответствие точек диаграммы и цепи, построение векторов топографической диаграммы ведут в той же последовательности, в какой обходят электрическую цепь. На рис. 8 показана топографическая диаграмма для цепи рис. 7.

Обход цепи начат от точки «d». При переходе к точке «с» потенциал увеличивается на величину падения напряжения на емкости Вектор этого падения напряжения отстает от вектора тока I на угол 90°. Потенциал точки «в» выше потенциала точки «с» на величину падения напряжения на втором участке, вектор которого опережает по фазе вектор тока на угол 90°. Потенциал точки «а» выше потенциала точки «в» на величину падения напряжения вектор, которого совпадает с вектором тока. Вектор результирующего напряжения расположен между точками «а» и «d».

Рисунок 8. Векторная диаграмма токов и напряжений при последовательном соединении элементов цепи

В зависимости от величин L и С возможны следующие варианты: X_L>X_C; X_L<X_C; X_L=X_C.

Для варианта X_L>X_C, угол φ>0, U_L>U_C. Ток отстает от напряжения на угол φ. Цепь имеет активно-индуктивный характер. Векторная диаграмма напряжений имеет вид как на рис. 9.

Рисунок 9. Векторная диаграмма напряжений для варианта X_L>X_C, угол φ>0, U_L>U_C

Для варианта X_L<X_C угол φ<0, U_L<U_C. Ток опережает напряжение на угол φ. Цепь имеет активно-емкостный характер. Векторная диаграмма напряжений имеет вид как на рис.10.

Рисунок 10. Векторная диаграмма напряжений для варианта X_L<X_C угол φ<0, U_L<U_C

Для варианта X_L=X_C, угол φ=0, U_L=U_C. Ток совпадает с напряжением. Цепь имеет активный характер. Полное сопротивление Z=R наименьшее из всех возможных значений X_L и X_C. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис.11).

Рисунок 11. Векторная диаграмма напряжений для варианта X_L=X_C, угол φ=0, U_L=U_C

Этот режим называется резонанс напряжений (U_L=U_C). Напряжения на элементах U_L и U_C могут значительно превышать входное напряжение.

На векторной диаграмме рис. 9 или рис. 10 можно выделить треугольник, который принято называть треугольником напряжения. В этом треугольнике:

где ‑ активная составляющая напряжения;

— реактивная составляющая напряжения.

Очевидно:

Поделив модули вектора треугольника напряжений на ток, получим подобный ему треугольник сопротивлений рис. 12.,

Рисунок 12. Треугольник сопротивлений

где:

– активное сопротивление цепи;

- реактивное сопротивление цепи;

- полное сопротивление цепи.

От треугольника напряжений легко перейти также к треугольнику мощностей рис. 13.

Рисунок 13. Треугольник мощностей.

В этом треугольнике:

‑ активная мощность цепи

‑ реактивная мощность цепи

‑ полная мощность цепи

называется коэффициентом мощности цепи. Используя векторную диаграмму (см. рис. 8) можно написать аналитические выражения для мгновенных значений тока и напряжений. Так для рис. 7, если:

то

.

.

Последовательная цепь может содержать большое число приемников с различными значениями R, L, С.

При этом активные сопротивления, напряжения и мощности отдельных приемников складываются арифметически:

Реактивные сопротивления, напряжения и мощности отдельных приемников складываются алгебраически:

при этом величины, относящиеся к индуктивности, входит в сумму со знаком «плюс», а величины, относящиеся к емкости со знаком «минус». Полные сопротивления, напряжения и мощности отдельных приемников складываются геометрически.