54) Раскрыть механический (физический) и геометрический смысл производной. Записать и разъяснить уравнения касательной и нормали к кривой.

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x — x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C₅ — C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Если функция имеет конечную производную в точке x₀, то в окрестности U(x₀) её можно приблизить линейной функцией

Функция f_l называется касательной к f в точке x₀. Число f'(x₀) является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t₀) = s'(t₀) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t₀. Вторая производная a(t₀) = s''(t₀) выражает мгновенное ускорение в момент времени t₀.

Вообще производная функции y = f(x) в точке x₀ выражает скорость изменения функции в точке x₀, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).

55) Сформулировать теоремы о дифференцировании сложной и обратной функций и доказать их. Теорема 3 (дифференцирование сложной функции). Пусть функция x = (t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x = (t). Тогда сложная функция y = f((t)) дифференцируема в точке t, причем справедлива формула

(f((t)))' = f'(x)'(t).

Доказательство. Зададим x = (t) отличное от нуля приращение  t. Этому приращению отвечает приращение  x =  (t+ t)- (t) функции x = (t). Приращению  x отвечает приращение  y = f(x+  x)-f(x). Так как функция y = f(x) дифференцируема, то ее приращение  y представимо в виде (1):

 y =f'(x) x + ( x)  x,

где lim_{ x 0} ( x ) = 0. Поделив данное выражение на  t  0, будем иметь:

 y/ t=f'(x) x/ t+  ( x) x/ t.

Из дифференцируемости функции x =  (t) в точке t вытекает, что

lim_{ t 0} x/ t = '(t).

Отметим, что из дифференцируемости функции x = (t) следует, что  x 0 при  t 0. Следовательно, lim_{ t 0} ( x) =0. Таким образом, получим необходимую формулу

Теорема 4 (производная обратной функции). Пусть функция y = f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x и f'(x) 0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y = f(x) определена обратная функция x = f^-1(y), причем обратная функция дифференцируема в точке x = f^-1(y) и для ее производной справедлива формула

(f^-1(y))' = 1/f'(x).

уравнение касательной или Уравнение нормали

56)Дать определение функции, заданной параметрическими уравнениями. Сформулировать теорему о дифференцировании функции, заданной параметрически, и доказать ее. Дать определение неявной функции. Сформулировать правило дифференцирования неявной функции.

Пусть функция задана параметрически уравнениями:

где функции и дифференцируемы для любого причем

и требуется найти Из первого уравнения системы выражают t через x (если это возможно) и подставляют во второе уравнение системы . Приходят к сложной функции от переменной x, которую дифференцируют по x. Правило дифф неявной: Если практически возможно, выражают y через x и дифференцируют y(x) по правилам дифференцирования.