Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Математика зима шпоры.docx
Скачиваний:
11
Добавлен:
25.12.2018
Размер:
282.87 Кб
Скачать

31. Дать определение окружности, записать ее геометрическое, каноническое и нормальное уравнения, изложить геометрические свойства.

Окружность – это множество точек плоскости, равноудалённых от центра.

(х-х0)2+(у-у0)2=R2 (нормальное уравнение)

С(0;0)→х22=R2 (каноническое уравнение)

Окружность является частным случаем эллипса.

Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

32. Дать определение эллипса, его основных параметров, записать его геометрическое, каноническое и алгебраическое уравнения, изложить геометрические свойства. Записать формулы для вычисления эксцентриситета и определить взаимосвязь осей и фокусного расстояния.

Эллипс – это множество точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F1 и F2 (называемых фокусами) постоянна, то есть| F1M | + | F2M | = 2a.

Положение фокусов F1F2eOx F1F2eOy

Координаты фокусов F1(-С;0) F2(С;0) F1(0;С) F2(0;-С)

Фокусное расстояние | F1F2|=2с

Большая ось |А1А2|=2а |В1В2|=2в

Малая ось |В1В2|=2в |А1А2|=2а

Связь а, в, с. а>в: а222 в>а: в2- а22

Уравнение x2/y2+y2/b2=1 (каноническое уравнение)

Эксцентриситет E=2c/2a E=2c/2b

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси.

33. Дать определение гиперболы, ее основных параметров. Записать ее геометрическое, канонические и алгебраическое уравнения, изложить геометрические свойства. Записать формулы для вычисления эксцентриситета, уравнения асимптот и определить взаимосвязь длин осей и фокусного расстояния.

Гипербола - множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек той же плоскости постоянен и меньше расстояния между этими точками.

Уравнение гиперболы x2/a2-y2/b2=1-----y2/b2-x2/a2=1

Положение фокусов F1F2eOx F1F2eOy

Координаты фокусов F1(-С;0) F2(С;0) F1(0;С) F2(0;-С)

Фокусное расстояние F1F2|=2с

Действительная ось |А1А2|=2а |В1В2|=2в

Мнимая ось |В1В2|=2в |А1А2|=2а

Связь а, в, с а22

Эксцентриситет E=2c/2a E=2c/2b

Ур. асимптот x/y-y/b=0 и x/a+y/b=0

y=E>1/+-b/a*корень x*x-a*a -- алгебраическое получение гиперболы.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближаются точки на гиперболе по мере удаления элемента от начала координат.

34. Дать определение равносторонней гиперболы, ее основных параметров. Записать ее геометрическое, канонические и алгебраическое уравнения, изложить геометрические свойства. Записать формулы для вычисления эксцентриситета, уравнения асимптот и определить взаимосвязь длин осей и фокусного расстояния.

Равносторонней называется гипербола у которой а=в, её уравнение х2- у22.

Эксцентриситет E=2c/2a E=2c/2b

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине действительной оси.

Асимптотами гиперболы называют прямые к которым неограниченно приближены точки на гиперболе по мере удаления аргумента от начала координат

Ур. асимптот x/y-y/b=0 и x/a+y/b=0

Уравнение гиперболы x2/a2-y2/b2=1 и y2/b2-x2/a2=1

y=E>1/+-b/a*корень x*x-a*a -- алгебраическое получение гиперболы.

Фокусное расстояние | F1F2|=2с

Связь а, в, с а22

35. Дать определение параболы, записать ее геометрическое и различные виды канонических уравнений, изложить геометрические свойства. Записать различные координаты фокуса и уравнения директрисы параболы в зависимости от расположения параболы в системе координат.

Параболой называется множество точек плоскости равноудалённых от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой, называемой директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным (р, р>0) параметром параболы.

|MF|=|MN| -- геометрическое уравнение параболы.

Каноническое y2 = 2px или x2 = 2py

Квадратное уравнение y = ax2 + bx + c также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и y = ax2, но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам: xa=-b/2a. ya=4ac-b2/4a

Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе.

Пучок лучей параллельных оси, отражаясь в параболе собирается в её фокусе. Для параболы y2 = x фокус находится в точке (0,25; 0).

Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.

Парабола является антиподерой прямой.

Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.