- •1)Сформулировать понятие множества. Изложить действия над множествами, разъяснить их суть и перечислить их свойства.
- •2)Определить основные элементы математической логики. Записать формулы логики, сформулировать законы алгебраической логики.
- •16. Дать определения минора порядка k для произвольной матрицы, ранга и базисного минора матрицы. Изложить способы нахождения ранга матрицы
- •19. Сформулировать теорему Крамера. Записать формулы Крамера. Раскрыть сущность решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
- •21) Дать понятие вектора на плоскости и в пространстве, определить линейные операции над векторами в геометрической форме, изложить их свойства.
- •25) Дать определение векторного произведения векторов: изложить его свойства, геометрический смысл, вычисление в координатной форме.
- •26) Дать определение смешанного произведения векторов, изложить его свойства, геометрический смысл, вычисление в координатной форме.
- •27) Дать понятие числовой функции, ее области определения и области значений. Определить способы задания функции. Сформулировать простейшие свойства.Функций .
- •28) Дать понятие обратной и сложной функции, неявно заданной функции, параметрически заданной функции.
- •31. Дать определение окружности, записать ее геометрическое, каноническое и нормальное уравнения, изложить геометрические свойства.
- •36. Изложить способы задания плоскости в пространстве и вывести различные виды уравнений плоскости в зависимости от способа ее задания..
- •39. Разъяснить критерии взаимного расположения прямых в пространстве и записать различные условия их взаимного расположения.
- •40. Разъяснить критерии взаимного расположения прямой и плоскости. Дать определение угла между прямой и плоскостью, расстояния от точки до плоскости, записать соответствующие формулы..
- •41. Дать определение числовой последовательности, изложить ее свойства. Перечислить виды последовательностей. И способы задания числовой последовательности.
- •42. Дать определение арифметической прогрессия и изложить ее свойства
- •43. Дать определение геометрической прогрессия и изложить ее свойства.
- •44. Дать понятие предела последовательности. Изложить критерий Коши и Сформулировать теоремы о свойствах предела последовательности.
- •45. Дать понятие бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, изложить их свойства.
- •46. Дать понятие предела функции в точке. Изложить критерий Гейне и критерий Коши. Сформулировать теоремы о свойствах пределов функций.
- •47.Дать понятие предела функции на бесконечности и односторонних пределов. Раскрыть суть вычисления пределов как раскрытия неопределенностей. Записать формулы замечательных пределов..
- •48) Определить понятия бесконечно больших и бесконечно малых функций, эквивалентности бесконечно малых функций. Записать формулы эквивалентных бесконечно малых функций.
- •49. Дать определения непрерывность функции в точке. Изложить свойства функций, непрерывных в точке.
- •50) Дать определение точки разрыва функции. Сформулировать условие непрерывности функции в точке. Изложить классификацию разрывов функции.
- •51) Дать определение непрерывности функции на отрезке. Сформулировать теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.
- •52) Дать определение асимптоты графика функции. Назвать их виды, сформулировать условия существования...
- •53) Дать определение производной функции. Сформулировать и доказать основное свойство производной функции. Сформулировать правила дифференцирования и записать соответствующие формулы.
- •54) Раскрыть механический (физический) и геометрический смысл производной. Записать и разъяснить уравнения касательной и нормали к кривой.
- •57) Сформулировать и доказать теоремы Ролля, Лагранжа и Коши и их следствия.
- •58) Дать понятие о неопределенностях при вычислении пределов и назвать их виды. Сформулировать правило Лопиталя и рассказать об особенностях его применения..
- •59) Дать определение дифференциала функции и раскрыть его геометрический смысл. Сформулировать свойства дифференциала и записать соответствующие формулы..
- •60) . Записать формулы, используемые в приближенных вычислениях с помощью дифференциала и. Объяснить их. Привести соответствующие примеры.
25) Дать определение векторного произведения векторов: изложить его свойства, геометрический смысл, вычисление в координатной форме.
Векторным произведением вектора a на вектор b в пространстве r называется вектор c удовлетворяющий следующим требованиям:/ 1)длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла ; между ними 2)вектор c ортогонален каждому из векторов a и b; 3)вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой. 4)в случае пространства rтребуется ассоциативность тройки векторов a.b.cГеометрический смысл смысл |c|=s=|a||b|*sin
Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :
Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму
параллелепипеда, образованного векторами .
Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
(a,b,c)=(b,c,a)-(c,a,b)—(b,a,c)=-(c,b,a)=-(a,c,b)
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
26) Дать определение смешанного произведения векторов, изложить его свойства, геометрический смысл, вычисление в координатной форме.
Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :
В частности, Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
Геометрический смысл — Смешанное произведение a,b,c по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами a,b,c ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
27) Дать понятие числовой функции, ее области определения и области значений. Определить способы задания функции. Сформулировать простейшие свойства.Функций .
Определение: Если даны числовые множества x и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу x из множества X определённое число y, то говорят заданная функция y=f(x) с областью определения x; пишут y=f(x), x э X. Переменную x называют независимой или аргументом, y-зависимой или функцией. Способы задания: Аналитический, графический, табличный, словесный. Свойства: 1)Чётность, нечётность. 2)Периодичность 2)Монатонность 3)Нули 4)График.
28) Дать понятие обратной и сложной функции, неявно заданной функции, параметрически заданной функции.
1.Обратная функция, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f (x) - данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = j (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). 2.Сложная функция, функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то естьu = j(х), то у является Сложная функция от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u).
3.Неявные функции, функции, заданные соотношениями между независимыми переменными, не разрешенными относительно последних; эти соотношения являются одним из способов задания функции. 4.Пусть заданы две функции x(t), y(t); при этом переменная t называется параметром. Тогда говорят, что y как функция от x задана параметрически.
30) Разъяснить критерии определения взаимного расположения прямых на плоскости в зависимости от видов уравнений прямых. Записать условия параллельности и перпендикулярности прямых. Дать определение угла между двумя прямыми и расстояния от точки до прямой. Записать формулы для определения угла между двумя прямыми и .расстояния от точки до прямой.
Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости
Две прямые, заданные уравнениями
Или
пересекаются в точке
Угол γ12 между пересекающимися прямыми определяется формулой
При этом под γ12 понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами A1, B1, C1, k1 и b1) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.
Эти прямые параллельны, если A1B2 − A2B1 = 0 или k1 = k2, и перпендикулярны, если A1A2 + B1B2 = 0 или .
Любую прямую, параллельную A1x + B1y + C1 = 0, можно выразить уравнением A1x + B1y + C = 0. При этом расстояние между ними будет равно
Если знак перед радикалом противоположен C1, то δ будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.
Для того, чтобы три прямые
пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
Если и , то прямые и перпендикулярны.