- •1)Сформулировать понятие множества. Изложить действия над множествами, разъяснить их суть и перечислить их свойства.
- •2)Определить основные элементы математической логики. Записать формулы логики, сформулировать законы алгебраической логики.
- •16. Дать определения минора порядка k для произвольной матрицы, ранга и базисного минора матрицы. Изложить способы нахождения ранга матрицы
- •19. Сформулировать теорему Крамера. Записать формулы Крамера. Раскрыть сущность решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
- •21) Дать понятие вектора на плоскости и в пространстве, определить линейные операции над векторами в геометрической форме, изложить их свойства.
- •25) Дать определение векторного произведения векторов: изложить его свойства, геометрический смысл, вычисление в координатной форме.
- •26) Дать определение смешанного произведения векторов, изложить его свойства, геометрический смысл, вычисление в координатной форме.
- •27) Дать понятие числовой функции, ее области определения и области значений. Определить способы задания функции. Сформулировать простейшие свойства.Функций .
- •28) Дать понятие обратной и сложной функции, неявно заданной функции, параметрически заданной функции.
- •31. Дать определение окружности, записать ее геометрическое, каноническое и нормальное уравнения, изложить геометрические свойства.
- •36. Изложить способы задания плоскости в пространстве и вывести различные виды уравнений плоскости в зависимости от способа ее задания..
- •39. Разъяснить критерии взаимного расположения прямых в пространстве и записать различные условия их взаимного расположения.
- •40. Разъяснить критерии взаимного расположения прямой и плоскости. Дать определение угла между прямой и плоскостью, расстояния от точки до плоскости, записать соответствующие формулы..
- •41. Дать определение числовой последовательности, изложить ее свойства. Перечислить виды последовательностей. И способы задания числовой последовательности.
- •42. Дать определение арифметической прогрессия и изложить ее свойства
- •43. Дать определение геометрической прогрессия и изложить ее свойства.
- •44. Дать понятие предела последовательности. Изложить критерий Коши и Сформулировать теоремы о свойствах предела последовательности.
- •45. Дать понятие бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, изложить их свойства.
- •46. Дать понятие предела функции в точке. Изложить критерий Гейне и критерий Коши. Сформулировать теоремы о свойствах пределов функций.
- •47.Дать понятие предела функции на бесконечности и односторонних пределов. Раскрыть суть вычисления пределов как раскрытия неопределенностей. Записать формулы замечательных пределов..
- •48) Определить понятия бесконечно больших и бесконечно малых функций, эквивалентности бесконечно малых функций. Записать формулы эквивалентных бесконечно малых функций.
- •49. Дать определения непрерывность функции в точке. Изложить свойства функций, непрерывных в точке.
- •50) Дать определение точки разрыва функции. Сформулировать условие непрерывности функции в точке. Изложить классификацию разрывов функции.
- •51) Дать определение непрерывности функции на отрезке. Сформулировать теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.
- •52) Дать определение асимптоты графика функции. Назвать их виды, сформулировать условия существования...
- •53) Дать определение производной функции. Сформулировать и доказать основное свойство производной функции. Сформулировать правила дифференцирования и записать соответствующие формулы.
- •54) Раскрыть механический (физический) и геометрический смысл производной. Записать и разъяснить уравнения касательной и нормали к кривой.
- •57) Сформулировать и доказать теоремы Ролля, Лагранжа и Коши и их следствия.
- •58) Дать понятие о неопределенностях при вычислении пределов и назвать их виды. Сформулировать правило Лопиталя и рассказать об особенностях его применения..
- •59) Дать определение дифференциала функции и раскрыть его геометрический смысл. Сформулировать свойства дифференциала и записать соответствующие формулы..
- •60) . Записать формулы, используемые в приближенных вычислениях с помощью дифференциала и. Объяснить их. Привести соответствующие примеры.
16. Дать определения минора порядка k для произвольной матрицы, ранга и базисного минора матрицы. Изложить способы нахождения ранга матрицы
Число r, обладающее указанными свойствами, называется рангом матрицы A.
Иными словами, рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы A обозначается как r (A) или rangA.
Минором k–го порядка10 матрицы A называется определитель k–го порядка с элементами, расположенными на пересечении любых k строк и любых k столбцов матрицы A.
МиноромMij элемента aij квадратной матрицы n–го порядка A называется определитель (n−1)–го порядка, получающийся из определителя
матрицы A вычеркиванием i–й строки и j–го столбца (той строки и того столбца,
на пересечен которых располагается элемент aij).
1. Отбрасывание нулевой строки или столбца.
2. Перестановка двух строк между собой. Остальные строки при этом
остаются неизменными. 3. Умножение любой строки на число λ 6= 0!!!!!4. Вычеркивание строки, являющейся линейной комбинацией других строк.
5. Прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на число λ 6= 0.
6. Транспонирование матрицы.
17) Определить понятия системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, ее решения, совместности, определенности, несовместности, неопределенности, эквивалентности, эквивалентных преобразований. Сформулировать критерий совместности системы. Решить систему значит найти все её решения или доказать, что нет ни одного решения. Решением уравнения с n неизвестными X1,X2…Xn называется любая конечная последовательность из n чисел (С1,C2…Cn) Так что при X1=C1,X2=C2…Xn=Cn уравнение превращается в верхнее числовое равенство(тождество) Решением системы будем называть такой упорядоченный набор чисел C1,C2…Cn, что при его подстановки в систему в место соответсвтующих неизвестных каждое из уравнений системы обращается в верхнее числовое равенство Если система имеет хотя бы 1-о решение то оно называется совместной, и на оборот не совместно
18) Записать систему в матричном виде. Изложить сущность решения систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы. Алгоритмическое нахождение обратной матрицы 1-2. det A=0? Если да то конец, если нет то находим алгебраические дополнения каждого элемента исходной матрицы и составляем из них матрицу (Aij) =A* 3.C=(A*)на степень T=(Aij) транспонируем матрицу алгебраическим дополнением. 4.A в степени -1= 1/на модуль А и * на С вычисляем элементы обратной матрицы. 5.А в степени -1*А=Е проверка
19. Сформулировать теорему Крамера. Записать формулы Крамера. Раскрыть сущность решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
КРАМЕРА -Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы. Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами. Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.
Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации: Система может иметь единственное решение. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице. Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.
20. Изложить алгоритм метода Гаусса, раскрыть его сущность и виды решений в зависимости от полученной ступенчатой матрицы. Сформулировать критерий Кронекера-Капелли. Определить понятие базисных и свободных неизвестных, общего и частного решения для систем с бесконечным множеством решений.
Метод Гаусса -------- классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные Кронекера-Капелли---------------- Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1, c2,..., cn ) называется решением системы если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x1, x2,..., xn каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c1, c2,..., cn ) T такой, что AC o B.