57) Сформулировать и доказать теоремы Ролля, Лагранжа и Коши и их следствия.

Ролля - Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс. 1) Если непрерывная функция обращается в ноль в n различных точках, то ее производная обращается в ноль, причем эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции.

Лагранжа: Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b] и внутри него имеет производную f ' (x), то найдется хотя бы одно такое значение x0 (a < x0 < b), что

f(b) - f(a) = (b - a)f '(x).

1. Если функция f дифференцируема в (a,b) и всюду в этом интервале неотрицательна (неположительна), то f не убывает (не возрастает) на этом интервале.

2. Пусть функция f непрерывна на [a,b] и дифференцируема в интервале (a,b). Тогда для того, чтобы функция f на [a,b] была константой необходимо и достаточно, чтобы .

Коши: если f и g определяют x и y через параметр t, то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами a и b, найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от (f(a);g(a)) до (f(b);g(b)).

58) Дать понятие о неопределенностях при вычислении пределов и назвать их виды. Сформулировать правило Лопиталя и рассказать об особенностях его применения..

Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) удовлетворяют следующим условиям:

1) определены и дифференцируемы на интервале (a; b), за исключением, быть может, точки причем и

2) .

3) существует предел тогда существует предел отношений функций

В случае неопределенностей вида и при вычислении пределов.

Неопределенности вида сводятся к или

59) Дать определение дифференциала функции и раскрыть его геометрический смысл. Сформулировать свойства дифференциала и записать соответствующие формулы..

Линейную функцию y = f’(x₀)(x-x₀) называют дифференциалом функции f в точке и обозначают df. Геометрически дифференциал функции df – это приращение у касательной к графику функции в данной точке при изменении x точки на dx.

Свойства дифференциала

Пусть – дифференцируемые функции на некотором множестве Тогда: