6.Собсвтенные колеюбания.

1. Свободное гармоническое колебание материальной точки

Гармоническими колебаниями точки называется колебательное движение под действием только восстанавливающей силы. Эта сила при движении точки всегда стремиться вернуть ее в положение равновесия. По модулю восстанавливающая сила пропорциональна расстоянию от точки до ее равновесного положения.

Т.О – положение равновесия т.М

Составим дифференциальное уравнение движения точки:

где с – коэффициент упругости (коэффициент жесткости)

(1) – дифференциальное уравнение свободных колебаний (линейное однородное уравнение второго порядка),

где k – круговая частота свободных колебаний.

Составим характеристическое уравнение:

(2) - решение дифференциального уравнения.

Выразим решение дифференциального уравнения в более компактном виде:

Где a – амплитуда колебаний,

kt + α – фаза колебаний,

α – начальная фаза колебаний.

Решением дифференциального уравнения является гармонические колебания с амплитудой a и начальной фазой α.

Постоянные с1 и с2 или α и a определяются из начальных условий.

Т.к. функции синус и косинус периодические и в одинаковой фазе находятся через 2π, то определяем за период разность фаз:

Величина, обратная периоду T, называется частотой колебания υ.

Частота – время одного полного колебания.

- количество полных колебаний за время 2π секунд

2. Затухающее колебание материальной точки

При затухающих колебаниях кроме восстанавливающей силы учитывается сила сопротивления.

, где μ – коэффициент сопротивления

Дифференциальное уравнение:

(4) - дифференциальное уравнение затухающего колебания.

Запишем характеристическое уравнение:

Корни: .

Возможны 3 случая:

1) 1-ый случай, когда n<k (малое сопротивление)

Это колебательное периодическое движение,

где k1 – круговая частота затухающих колебаний,

a - амплитуда, α - начальная фаза.

Постоянные с1 ,с2 или α и a определяются из начальных условий.

Т1 – период затухающих колебаний

В случае малого сопротивления получаем затухающее колебание точки с периодом T1:

.

Максимальное отклонение точки от равновесного положения через период или через половину периода подчиняется закону геометрической прогрессии, знаменатель которой равен или . Этот знаменатель геометрической прогрессии называется декрементом затухающих колебаний и показывает, во сколько раз отличаются амплитуды колебаний, взятые через период или через половину периода.

Логарифмический декремент затухания: или .

2) 2-ой случай, когда n>k (большое сопротивление)

Постоянные с1 и с2 определяются из начальных условий.

В этом случае движение апериодическое.

3) 3-ий случай, когда n=k (предельный случай)

Движение апериодическое.

Постоянные с1 и с2 определяются из начальных условий.