Лабораторная работа №2.

Цель: математические модели прикладных задач (распространение теплоты).

Задача 1: Согласно закону Ньютона, скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна , и тело в течение времени охлаждается от до , то через какое время температура его понизиться до .

Решение: Принцип изменения температуры тела, с учетом температуры окружающей среды описывается следующим равенством:

, (2.1)

где - температура тела в момент времени , - температура воздуха, - положительный коэффициент пропорциональности.

Для примерных расчетных данных, , , , , , при условии, что , , , имеем следующее:

, , , , . (*)

Из последнего равенства, определим постоянную , используя начальное условие, а именно, что в начальный момент времени температура изменяется с отметки , при моменте времени , тогда , . Подставляя найденное значение в два оставшихся условия, получаем следующую систему: . Найдем коэффициент пропорциональности . Сравнивая об уравнения системы, его удобно найти из первого уравнения: , , .

Подставляя найденный коэффициент пропорциональности в (*) и согласно поставленной задаче, определяем время , за которое температура тела понизится до отметки :

, , , , .

Варианты заданий:

1 вариант	, , , , .
2 вариант	, , , , .
3 вариант	, , , , .
4 вариант	, , , , .
5 вариант	, , , , .
6 вариант	, , , , .
7 вариант	, , , , .
8 вариант	, , , , .
9 вариант	, , , , .
10 вариант	, , , , .
11 вариант	, , , , .
12 вариант	, , , , .
13 вариант	, , , , .
14 вариант	, , , , .
15 вариант	, , , , .

Задача 2: Определить время совершения преступления и коэффициент пропорциональности температуры, если в момент обнаружения температура тела равнялась , а час спустя составляла (считать, что в момент смерти человека температура его тела равна , а температура воздуха ).

Решение: Используем равенство (2.1).

Тогда , и из равенства (2.1), разделяя переменные, получаем:

. (2.2)

Для примерных расчетных данных , , , , имеем следующее:

, , подставляя в (2.2), находим , , откуда - зависимость температуры с начального момента времени до изменений, связанных с ее изменением.

Теперь работаем с оставшимися двумя позициями температуры:

, , подставляем в полученную зависимость для температуры, , .

, , подставляем в полученную зависимость для температуры, , , .

Таким образом, получаем систему для последних полученных двух равенств: . (*)

Найдем составляющую . Для этого в последней системе уравнений поделим первое уравнение на второе почленно, , , .

Поскольку необходимо найти время совершения преступления в момент нахождения тела, то подставляя последнее в первое уравнение системы (*), имеем:

, , , .