Лабораторная работа №4.
Цель: математические модели прикладных задач (растворение веществ)
Задача
1: Нерастворимое
вещество, содержащее в своих порах
кг
соли, подвергается действию
л
воды. Через время
,
кг
соли растворяется. Через сколько времени
растворится
первоначальной массы соли, если
концентрация насыщенного раствора
равна
.
Решение:
Пусть
-
масса нерастворенной соли в момент
времени
.
Процесс растворения веществ описывается
уравнением:
,
(4.1)
где - коэффициент пропорциональности; - первоначальная масса соли.
Тогда
для примерных расчетных данных:
,
,
,
,
,
,
,
.
Величина , получилась из тех соображений, что изначально нерастворимое вещество содержало 2кг соли, а поскольку необходимо определить время растворения 99 % первоначальной массы соли, то на оставшийся 1 % нерастворенной соли останется как раз .
Подставляя в (4.1) примерные данные, находим:
,
,
,
.
Разделим переменные и проинтегрируем последнее равенство:
.
Левую
часть равенства получим с помощью метода
неопределенных коэффициентов:
,
.
Поскольку знаменатели равны, приравняем
и числители:
.
Раскроем
скобки в последнем равенстве, сгруппируем
коэффициенты при соответствующих
степенях переменной и приравняем данные
сгруппированные коэффициенты в правой
части к степеням в левой части равенства:
,
,
.
Подставляя в исходное равенство найденные коэффициенты:
.
Интегрируя до конца (2.5), получаем
,
,
,
,
.
(*)
Используя начальные условия, находим неизвестные величины, используя равенство (*):
,
,
.
,
,
,
,
,
.
Итоговый вид уравнения (*) следующий:
.
Теперь
подставляя вместо
величину
,
находим итоговое время для растворения
99 % первоначальной массы соли:
,
,
,
.
Варианты заданий:
1 вариант |
|
2 вариант |
,
|
3 вариант |
,
,
|
4 вариант |
,
|
5 вариант |
|
6 вариант |
,
|
7 вариант |
, , , , , . |
8 вариант |
,
|
9 вариант |
|
10 вариант |
|
11 вариант |
|
12 вариант |
|
13 вариант |
|
14 вариант |
|
15 вариант |
,
,
,
,
|
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
.
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
.
,
.
Задача
2: Из
некоторого химически недеятельного
вещества добывают серу, растворяя ее в
бензоле. Найти, сколько серы можно
растворить в течение времени
ч, если в данном веществе содержится
г серы и если взято
г бензол (масса, в которой при насыщении
растворяется
г серы). Известно, что коэффициент
пропорциональности
.
Решение:
Переведем коэффициент пропорциональности
в единицы измерения
,
т.е.
.
Для
примерных значений, по условию задачи
дано следующее:
,
,
.
Необходимо найти
.
Тогда согласно (9.1) запишем процесс растворения данного вещества:
.
.
С помощью метода неопределенных
коэффициентов найдем правую часть
последнего равенства.
,
,
,
,
.
Тогда,
,
,
,
,
.
Так
как в начальный момент времени (
),
в данном веществе, в котором будут
растворять, содержится,
серы, т.е.
,
то подставляя в последнее равенство
,
.
Следовательно,
.
Так
как по условию задачи, время, в течение
которого будет растворяться сера, было
равно
,
то
.
Найдем
:
,
,
,
,
,
.
То есть из 6 г серы, содержащихся в бензоле, в течение 6 часов (для данных значений) растворится только 5.9962 г серы.
Теперь
найдем, сколько серы останется по
истечении 6 часов взаимодействия со 100
г бензола: т.е.
.