- •Лабораторные работы по мат. Моделированию (заочники) Лабораторная работа №1.
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №2.
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №3.
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №4.
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №5.
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
Лабораторная работа №3.
Цель: математические модели прикладных задач (биологическая популяция).
Задача 1: Рост, выживание и деление клеток определяются потоком питательных веществ через оболочку клетки. Это означает, что на ранних стадиях клеточного роста увеличение массы клетки в момент времени пропорционально квадрату радиусу клетки, а масса клетки пропорциональна его кубу. Построить дифференциальное уравнение, описывающее изменение массы клетки в зависимости от времени , если начальная масса клетки равна . Найти массу клетки за время ее роста.
Решение: По условию, , , , , .
Следовательно, получаем систему уравнений: , где - коэффициент пропорциональности увеличения массы клетки на ранней стадии развития, - коэффициент пропорциональности увеличения массы клетки на поздней стадии развития.
Для удобства, выразим радиус клетки из второго уравнения системы: , и подставим в первое уравнение: .
Разделяя переменные и интегрируя последнее уравнение, получим:
, . (3.1)
Так как в начальный момент времени, масса клетки равна , т.е. , то подставляя это условие в (3.1) находим постоянную величину : .
Следовательно, (3.1) можно переписать в следующем виде:
, , , при .
Варианты заданий:
1 вариант |
, , , , (Яблоко) |
2 вариант |
, , , , (Груша) |
3 вариант |
, , , (Персик) |
4 вариант |
, , , , (Финик) |
5 вариант |
, , , , (Арбуз) |
6 вариант |
, , , , (Хурма) |
7 вариант |
, , , , (Киви) |
8 вариант |
, , , , (Банан) |
9 вариант |
, , , , (Апельсин) |
10 вариант |
, , , , (Дыня) |
11 вариант |
, , , , (Лук) |
12 вариант |
, , , , (Чеснок) |
13 вариант |
, , , , (Баклажан) |
14 вариант |
, , , , (Помидор) |
15 вариант |
, , , , (Кокос) |
Задача 2: Популяция бактерий возрастает от начального размера единиц до равновесного размера единиц. Предполагается, что в течение первого времени , она увеличилась до . Считается, что рост популяции подчиняется логистическому уравнению, определить ее размер в момент времени .
Решение: Равновесное значение особей определяется как , где - соответственно, средние рождаемость и смертность в данной популяции.
Тогда в момент времени , численность популяции будет равна:
. (3.2)
Для нахождения постоянного значения , воспользуемся равенством:
, (3.3)
где - численность популяции в начальный момент времени ( ).
Для примерных расчетных данных, , , , , используя (3.2-3.3) получаем следующее:
, , , , , , .
В данном случае получили пропорциональность роста популяции в течение времени равную .
Подставляя данное значение в (3.2), получим численность популяции в момент времени : .