- •1 Билет
- •2 Билет Определители n-го порядка.
- •3 Билет
- •Алгоритм нахождения обратной матрицы
- •Решение матричных уравнений
- •4 Билет
- •4.1. Основные понятия
- •Решение системы по формулам Крамера
- •5 Билет
- •Достоинства метода
- •6 Билет
- •Определение
- •7 Билет Вектором называется величина, характеризующаяся не только численным значением, но и направлением в пространстве.
- •Базис системы векторов
- •Алгоритм нахождения базиса системы векторов
- •8 Билет Деление отрезка в данном отношении
- •9 Билет
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •10 Билет
- •Прямая на плоскости
- •11 Билет
- •12 Билет
- •13 Билет
- •14 Билет
- •15 Билет
- •Бесконечно малая величина
- •]Пример
- •16 Билет
- •Сравнение бесконечно малых
- •17 Билет
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •18 Билет
- •1.3 Общее правило нахождения производной
- •1.4 Геометрический смысл производной
- •1.5 Механический смысл производной
- •Правила дифференцирования
1.4 Геометрический смысл производной
Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, состоит в следующем: значение производной функции в точке xравно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в той же точке x, т.е.
Уравнение касательной, как всякой прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид - текущие координаты. Но и уравнение касательной запишется так: . Уравнение нормали запишется в виде .
1.5 Механический смысл производной
Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением , то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную и подставить в неё соответствующее значение t.
Правила дифференцирования
Производная суммы (разности) функций
Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой.
Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:
Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,
Производная произведения функций.
Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и
Производная произведения двух функций не равана произведению производных этих функций.
Производная частного функций.
Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле
Производная сложной функции |
|
"Двухслойная" сложная функция записывается в виде
где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна
Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга. |
Производная обратной функции.
Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на . Пусть также в точке производная . Тогда в точке определена дифференцируемая функция , которую называют обратной к , а ее производная вычисляется по формуле .