- •1 Билет
- •2 Билет Определители n-го порядка.
- •3 Билет
- •Алгоритм нахождения обратной матрицы
- •Решение матричных уравнений
- •4 Билет
- •4.1. Основные понятия
- •Решение системы по формулам Крамера
- •5 Билет
- •Достоинства метода
- •6 Билет
- •Определение
- •7 Билет Вектором называется величина, характеризующаяся не только численным значением, но и направлением в пространстве.
- •Базис системы векторов
- •Алгоритм нахождения базиса системы векторов
- •8 Билет Деление отрезка в данном отношении
- •9 Билет
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •10 Билет
- •Прямая на плоскости
- •11 Билет
- •12 Билет
- •13 Билет
- •14 Билет
- •15 Билет
- •Бесконечно малая величина
- •]Пример
- •16 Билет
- •Сравнение бесконечно малых
- •17 Билет
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •18 Билет
- •1.3 Общее правило нахождения производной
- •1.4 Геометрический смысл производной
- •1.5 Механический смысл производной
- •Правила дифференцирования
Решение системы по формулам Крамера
Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!
Рассмотрим систему уравнений
На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы. Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать Метод Гауса.
Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя: и
На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .
Корни уравнения находим по формулам: ,
Пример 7
Решить систему линейных уравнений
В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.
, значит, система имеет единственное решение.
;
;
Ответ: , .
Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.
Пример 8 Решить систему по формулам Крамера. Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.
Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
Находим главный определитель системы:
Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.
Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя: , ,
И, наконец, ответ рассчитывается по формулам: , ,
Пример 9 Решить систему по формулам Крамера.
Решение: Решим систему по формулам Крамера. , значит, система имеет единственное решение.
Ответ: .
5 Билет
Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.
Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.
Элементарными преобразованиями строк называют:
перестановка местами любых двух строк матрицы;
умножение любой строки матрицы на константу , ;
прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу , .
В некоторых курсах линейной алгебры перестановка местами двух строк матрицы не вносятся в определение элементарных преобразований так как перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить используя умножение любой строки матрицы на константу , и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу , .
Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.
Элементарные преобразования обратимы.
Обозначение указывает на то, что матрица может быть получена из путём элементарных преобразований (или наоборот).
Ме́тод Га́усса[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные[2].
Решить систему уравнений методом Гаусса:
x + y - 3z = 2,
3x - 2y + z = - 1,
2x + y - 2z = 0.
Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы
и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:
а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:
~ ;
б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:
.
В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:
x + y - 3z = 2,
-5y + 10z = -7,
- 10z = 13.
Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим x = - 0,7.