8 Билет Деление отрезка в данном отношении

Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки  ( ,  ) и  ( ,  ), и дано отношение  , в котором точка М делит отрезок  , то координаты точки М определяются по формулам

,  .

Если точка М является серединой отрезка  , то ее координаты определяются по формулам

,  .

Скалярным произведением векторов    и  , называется число, численно равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.

* =| * |*cos( - )

* =x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n

Свойства скалярного произведения.

1. Симметричность :

2. 

3. 

* =>| |=0

* =| |²

4)

9 Билет

Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции«векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. 

Векторным произведением вектора   на вектор    называется вектор  , удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора   равна произведению длин векторов   и   на синус угла  ; между ними

• вектор   ортогонален каждому из векторов   и 

• вектор   направлен так, что тройка векторов   является правой.

• в случае пространства   требуется ассоциативность тройки векторов   .

Обозначение:

Геометрические свойства векторного произведения

П лощадь параллелограмма равна векторному произведению.

Объём параллелепипеда при использовании векторного и скалярного произведения векторов; пунктирные линии показывают проекции вектора c на a × b и вектора a на b × c, первым шагом является нахождение скалярных произведений.

• Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

• Модуль векторного произведения   равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах   и   (см. Рисунок 1)

• Если   — единичный вектор, ортогональный векторам   и   и выбранный так, что тройка   — правая, а S — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c. Такое произведение трех векторов называется смешанным.

На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двухединичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0, если векторы параллельны.

Смешанным произведением трёх векторов , называется такое число, равное скалярному произведению первого из них на векторное произведение двух других.

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр(точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами  .