Достоинства метода

• Менее трудоёмкий по сравнению с другими методами.

• Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение.

• Позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений — ранг матрицы системы

6 Билет

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение   системы (1) называется тривиальным решением.

Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Ранг матрицы — Размерность образа dim(im(A)) линейного оператора, которому соответствует матрица.

Обычно ранг матрицы A обозначается   ( ) или  . Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков.

Определение

Пусть   — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы A является:

• ноль, если A — нулевая матрица;

• число  , где M_r — минор матрицы A порядка r, а M_{r + 1} — окаймляющий к нему минор порядка (r + 1), если они существуют.

7 Билет Вектором называется величина, характеризующаяся не только численным значением, но и направлением в пространстве.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается   или  .

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или параллельных прямых. Векторы называются коллинеарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Определение 6. Два вектора   и   называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и равны по длине.

Базис системы векторов

Базисом системы векторов A₁ , A₂ ,..., A_n называется такая подсистема B₁, B₂ ,...,B_r (каждый из векторов B₁,B₂,...,B_rявляется одним из векторов A₁ , A₂ ,..., A_n)_, которая удовлетворяет следующим условиям: 1. B₁,B₂,...,B_r линейно независимая система векторов; 2. любой вектор A_j системы A₁ , A₂ ,..., A_n линейно выражается через векторы B₁,B₂,...,B_r

r — число векторов входящих в базис.

Теорема 29.1 О единичном базисе системы векторов.

Если система m-мерных векторов содержит m различных единичных векторов E₁ E₂ ,..., E_m , то они образуют базис системы.

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того, чтобы найти базис системы векторов A₁ ,A₂ ,...,A_n необходимо:

• Составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ

• Привести эту систему

Действия над векторами

Суммой векторов a(a1; a2; a3) и b(b1; b2; b3) называется вектор c (a1+b1; a2+b2; a3+b3).  Произведение вектора a(a1; a2; a3) на число λ называется вектор λ a = (λa1; λa2; λa3).  Скалярным произведением векторов (a1; a2; a3) и (b1; b2; b3) называется число a1b1 + a2b2 + a3b3.

1)Обозначается сумма следующим образом:  . Начала векторов   и   совмещаются и на них как на сторонах строится параллелограмм. Диагональ параллелограмма и будет суммой векторов.

2)  Разность векторов.

Определение 2. Разностью двух векторов   и   называется такой вектор  , сумма которого с вычитаемым   дает вектор  .

3) Умножение вектора на число.

Определение 3. Произведением вектора   на число   называется вектор  , определенный следующими условиями:

 

1)  ;

 

2) вектор  коллинеарен вектору  ;

3) векторы   и   направлены одинаково, если  , и противоположно, если  .

Очевидно, что операция умножения вектора на число приводит к его растяжению или сжатию. Противоположный вектор   можно рассматривать как результат умножения вектора   на  . Отсюда,

.

Условие коллинеарности (параллельности или совпадения) векторов