10 Билет

  Определение. Уравнением линии  называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию. Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.

 Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

Теорема. Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

 

торое уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₀ перпендикулярно заданной прямой.

            Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + Ax₀ + By₀ + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

.

 

Прямая на плоскости

     Общее уравнение 

Ax + By + C (  > 0).

     Вектор   = (А; В) - нормальный вектор прямой.

     В векторном виде:   + С = 0, где   - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

     Частные случаи:

     1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

     2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

     3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

     4) y = 0 - ось Ox;

     5) x = 0 - ось Oy.

11 Билет

Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

   Этот вопрос уже обсуждался в предыдущей лекции, когда обауравнения данных прямых записывались в каноническом или параметрическом виде. Пусть сейчас оба уравнения прямых записаны в общем виде.

Теорема. Пусть

     и 

– общие уравнения двух прямых на координатной плоскости Оху. Тогда

1) если  , то прямые   и   совпадают;

2) если  , то прямые    и 

    параллельные;

3) если  , то прямые пересекаются.

   Доказательство. Условие   равносильно коллинеарности нормальных векторов данных прямых:

. Поэтому, если  , то   и прямыепересекаются.

   Если же  , то  ,  ,   иуравнение прямой   принимает вид:

 или  , т.е. прямые совпадают. Заметим, что коэффициент пропорциональности  , иначе все коэффициенты общего уравнения были бы равны нулю, что невозможно.

   Если же прямые не совпадают и не пересекаются, то остается случай  , т.е. прямые параллельны.

Теорема доказана.

   Заметим, что если прямые пересекаются, то для нахождения координатих точки пересечения достаточно решить систему двух уравнений сдвумя неизвестными:

                             .                               (4)

Следствие. Пусть   – определитель системы (4). Если  , то прямые пересекаются в одной точке и система (4) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

                                   ,                                (5)

где  ,  .

Если  , то прямые или параллельны и тогда система (4) не имеет решений, или прямые совпадают и тогда система (4) имеет бесконечно много решений.

   Доказательство. По определению определителя второго порядка

                       .

Если  , то   и  , т.е. прямые пересекаются и координаты точки пересечения можно найти по формулам Крамера .

Если же  , то   и  , т.е. либо прямые параллельны и тогда система не может иметь ни одного решения, либо прямыесовпадают и тогда система (4) состоит из одного уравнения и решениями такой системы являются координаты любой точки, лежащей на прямой, а их бесконечно много.

следствие доказано.

2. Расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле

Правило. Чтобы определить расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0, нужно привести уравнение прямой к нормальному виду, взять левую часть полученного уравнения и подставить в нее вместо текущих координат координаты данной точки. Абсолютная величина полученного числа и даст искомое расстояние:

Расстояние от точки до прямой есть всегда величина положительная. Кроме расстояния от точки до прямой, рассматривается еще так называемое отклонение точки от прямой.

Отклонение   данной точки от данной прямой есть расстояние от этой точки до прямой, которому приписывается знак плюс, если точка и начало координат находятся по разные стороны от прямой, и знак минус, если точка и начало координат находятся по одну сторону от прямой.

Расстояние от точки до прямой есть абсолютная величина отклонения этой точки от прямой.