- •1 Билет
- •2 Билет Определители n-го порядка.
- •3 Билет
- •Алгоритм нахождения обратной матрицы
- •Решение матричных уравнений
- •4 Билет
- •4.1. Основные понятия
- •Решение системы по формулам Крамера
- •5 Билет
- •Достоинства метода
- •6 Билет
- •Определение
- •7 Билет Вектором называется величина, характеризующаяся не только численным значением, но и направлением в пространстве.
- •Базис системы векторов
- •Алгоритм нахождения базиса системы векторов
- •8 Билет Деление отрезка в данном отношении
- •9 Билет
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •10 Билет
- •Прямая на плоскости
- •11 Билет
- •12 Билет
- •13 Билет
- •14 Билет
- •15 Билет
- •Бесконечно малая величина
- •]Пример
- •16 Билет
- •Сравнение бесконечно малых
- •17 Билет
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •18 Билет
- •1.3 Общее правило нахождения производной
- •1.4 Геометрический смысл производной
- •1.5 Механический смысл производной
- •Правила дифференцирования
15 Билет
Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально, под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.
Функция имеет предел в точке , предельной для области определения функции , если для каждой окрестности предела существует проколотая окрестность точки , образ которой при отображении является подмножеством заданной окрестности точки .
Обозначение предела
Предел функции обозначается как или через символ предела: . Всюду ниже предполагается, что пределы функций существуют.
Предел суммы
Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
Расширенное правило суммы
Предел постоянной величины
Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
Предел произведения функции на постоянную величину
Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:
Предел произведения
Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют):
Расширенное правило произведения
Предел частного
Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
Предел степенной функции
где степень p - действительное число. В частности,
Если f ( x ) = x, то
Предел показательной функции
где основание a > 0.
Предел логарифмической функции где основание a > 0.
Теорема "о двух милиционерах"
Предположим, что для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точкиx = a. Тогда, если то
То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу L.
Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.
Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.
Бесконечно малая величина
Последовательность an называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если .
Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то f(x) − a = α(x), .
Бесконечно большая величина
Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsin x, неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .
Последовательность an называется бесконечно большой, если .
Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если .
Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо
Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:
|
|
|
|
|
|
|
по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.
Для раскрытия неопределённостей типа используется следующий алгоритм:
Выявление старшей степени переменной;
Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.
Для раскрытия неопределённостей типа существует следующий алгоритм:
Разложение на множители числителя и знаменателя;
Сокращение дроби.
Для раскрытия неопределённостей типа иногда удобно применить следующее преобразование:
Пусть и