12 Билет

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов   отличен от нуля.

 

Если кривая Г невырожденная, то для неё найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой примет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):

 

 - эллипс,

 

 - гипербола,

 

px  - парабола.

 

Эллипс – геометрическое множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек   и  , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, большая, чем расстояние между фокусами 2c:  . Эллипс, заданный каноническим уравнением:   

 

симметричен относительно осей координат. Параметры а и b называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно), точки  ,  ,  ,   называются его вершинами.

 

Гипербола –  геометрическое множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух точек    и   , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, меньшая, чем расстояние между фокусами 2c:   .

 

Гипербола, заданная каноническим уравнением:

 

 

симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось ОХ в точках   и   - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОY.

Парабола – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой

фокусом, и данной прямой, называемой директрисой:  .

 

Парабола, заданная указанным каноническим уравнением, симметрична относительно оси ОХ.

 

Уравнение   задает параболу, симметричную относительно оси ОY.

 

Парабола   имеет фокус   и директрису  .

 

Парабола    имеет фокус   и директрису  .

13 Билет

Поверхность и ее уравнение

Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке О₁ есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки O₁ на расстоянии R. Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками простран­ства и тройками чисел х, у и z — их координатами. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего ко­ординаты всех точек поверхности. Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называется такое уравнение F(x, у, z) = 0 с тремя переменны­ми х, у и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. Переменные х, у и z в уравнении поверхности называ­ются текущими координатами точек поверхности.

  Плоскость в пространстве.

 Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(х₀ ,у₀ ,z₀) перпендикулярно вектору n = {A,B,C},называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z) вектор М₀М = {x - x₀ , y - y_{0 ,} z - z₀) ортогонален вектору n, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

                    A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0.                                                 (8.1)

Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

    После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде:

                    Ax + By + Cz + D = 0,                                                                (8.2)

где D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости.

Уравнения линии в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей (см. рис. 66) или как геометрическое место точек, об­щих двум поверхностям.

      (12.1) Сравнения системы (12.1) называются уравнениями линии в пространстве. Например,  есть уравнения оси Ох.

Линию в пространстве можно рассматривать как траекторию движения точки (см. рис. 67). В этом случае ее задают векторным уравнением 

                   (12.2)

 или параметрическими уравнениями

            проекций вектора (12.2) на оси координат.

Н апример, параметрические уравнения винтовой линии имеют вид

 

Если точка Μ равномерно движется по образующей кругового цилиндра, а сам цилиндр равномерно вращается вокруг оси, то точка Μ описывает винтовую линию (см. рис. 68).

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой   и вектором  , перпендикулярным этой плоскости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней произвольную точку   и составим вектор  . При любом расположении точки Μ на плоскости Q векторы   и   взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю:  , т. е.

         (12.3)

Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению (12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравнению не удовлетворяют (для них  ).

Уравнение (12.3) называется уравнением  плоскости,   проходящей через данную точку   перпендикулярно вектору  . Оно первой степени относительно текущих координат x, y, z. Вектор   называется нормальным вектором плоскости.

Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (12.3) различные значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей череp точку  . Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей, а уравнение (12.3) - уравнением связки плоскостей.