40. Случайные процессы.
Изменение
во времени
случайной величины
называется случайным или стохастическим
процессом. Случайный процесс - множество
возможных кривых
,
так как случайная величина не имеет
определенного значения, а является
совокупностью (множеством) возможных
значений.
Случайный
процесс (СП) может быть оценен некоторыми
вероятностными характеристиками. В
каждый отдельный момент времени
наблюдаются случайные величины
,
каждая из которых имеет свой закон
распределения
Рис. 5
Для каждого заданного момента времени можно найти характеристики случайных величин: среднее по множеству (математическое ожидание)
(1)
и дисперсию
(2)
Среднее
значение случайного процесса представляет
собой некоторую среднюю кривую (рис.
5), около которой группируются все
возможные отдельные реализации этого
процесса, а дисперсия
или среднеквадратичное отклонение
характеризуют рассеяние отдельных
возможных реализаций процесса около
этой средней кривой.
Среднее
значение случайной величины
для отдельной реализации случайного
процесса
определяется из выражения
(3)
Чисто случайный процесс: все значения случайной величины в отдельные моменты времени не зависят друг от друга. Вероятность их совместного наступления равна произведению вероятностей наступления каждого из них в отдельности:
(4)
где
- значения с.в.
Если события зависимы, то учитывается взаимозависимость или корреляцию между ними: вместо формулы (4) записывается
(5)
где
- условная вероятность того, что случайный
процесс пройдет вблизи точки
,
если он уже прошел через точку
.
Следовательно, зная плотности вероятности
можно найти также и условную плотность
вероятности
(6)
Стационарным
случайным процессом называется такой
процесс, вероятностные характеристики
которого не зависят от времени. Все
плотности вероятностей
не меняются при любом сдвиге рассматриваемого
участка процесса во времени
Свойства стационарного случайного процесса (ССП):
1. Исследование стационарного случайного процесса позволяет определить только установившиеся (стационарные) динамические ошибки САУ систем при случайных воздействиях.
2.
Свойство эргодической гипотезы: с
вероятностью, равной единице всякое
среднее по множеству равно соответствующему
среднему по времени, в частности
,
и т. д.
Эргодическая теорема: среднее значение (математическое ожидание) для ССП равно
(8)
Также
определяются дисперсия, среднеквадратичное
отклонение и т. п. Эргодическая гипотеза
позволяет упрощать все расчеты и
эксперименты: для определения
и т. п., вместо параллельного испытания
многих однотипных систем в один и тот
же момент времени, можно пользоваться
одной кривой
,
полученной при испытании одной системы
в течение длительного времени.
Таким образом, отдельная реализация ССП на бесконечном промежутке времени полностью определяет собой весь процесс со всеми бесчисленными возможными его реализациями.
41. Корреляционный анализ случайных процессов.
Начальный
корреляционный момент двух значений
случайной функции
и
,
взятых в моменты времени
,
носит название корреляционной
(автокорреляционной) функции. Она может
быть найдена из выражения
(9)
где
- двумерная плотность вероятности.
Корреляционная функция (КФ) является универсальной характеристикой для случайного процесса. Она определяет зависимость случайной величины в последующий момент времени от предшествующего значения в момент времени . Это есть мера связи между ними.
Иногда под КФ понимают центральный корреляционный момент и , т. е.
(10)
В этом случае КФ (9) может быть представлена в виде суммы
(11)
Основные свойства КФ:
1.
Свойство симметрии:
и
.
2. При
КФ
дает средний квадрат случайной величины,
a
- дисперсию:
,
3. Прибавление к СВ произвольных неслучайных величин не меняет их корреляционных моментов и дисперсии. Поэтому КФ не изменится, если к СФ добавить произвольную неслучайную функцию.
Нормированная корреляционная функция
(12)