59 Особенности описания нелинейных элементов.

При расчетах нелинейных цепей чаще всего пользуются аналитическим представлением характеристик нелинейных элементов. В большинстве случаев основой для такого представления являются экспериментально полученные данные. Поэтому задача получения аналитического описания характеристики элемента сводится к аппроксимации соответствующей зависимости, представленной в табличной форме. Выбор аппроксимирующей функции определяется как характером нелинейности, так и используемым расчетным методом, а также диапазоном изменения расчетных величин. Например, при анализе нелинейной электронной цепи в малосигнальном режиме характеристики нелинейных элементов линеаризуются в окрестности рабочей точки. Это приводит к расчету линейной цепи, в которой нелинейные элементы заменены их дифференциальными параметрами в рабочей точке.

 При аппроксимации характеристик нелинейных элементов f = f(x) всех видов чаще всего используют полиномы f = k₁ + k₂x + k₃x² + ..., степенные функции f = kx^, экспоненты f = k₁ e^x + k₂ или другие простейшие трансцендентные функции, характер которых отвечает виду аппроксимируемой зависимости.

Определение коэффициентов аппроксимирующих функций осуществляется методами интерполяции, среднеквадратичного или равномерного приближения, рассматриваемыми в курсе численного анализа.

При необходимости охвата широкого диапазона изменения переменных используют различные аппроксимирующие выражения на отдельных интервалах изменения переменных. Из них наиболее распространена кусочно-линейная аппроксимация, при которой в каждом отдельном интервале аргумента (x_k, x_k+1) функция аппроксимируется линейным отрезком

,

где f_k и f_k+1 — значения аппроксимируемой функции на границах интервала, f_k = f_k+1 – f_k, x_k = x_k+1 – x_k.

Более точной является аппроксимация характеристик сплайнами — кусочная аппроксимация с помощью кубических парабол на отдельных интервалах (x_k, x_k+1). Их параметры выбирают из условий непрерывности функций f(x), их первых и вторых производных в граничных точках интервалов x_k.

Для реализации перечисленных методов — среднеквадратичного приближения, кусочно-линейной и сплайновой аппроксимации  — имеются специальные вычислительные программы. Их целесообразно применять при высоких требованиях к точности расчета нелинейной цепи. Если целью расчета является лишь получение качественных оценок, то можно использовать более простую и более грубую аппроксимацию. Иногда подобный путь позволяет получить аналитическое решение нелинейной задачи. Предельное упрощение достигается при условной линеаризации нелинейного элемента — линеаризации нелинейных членов уравнений цепи, мало влияющих на ход процесса.

60 Многообразие установившихся вынужденных и автономных режимов.

61 Метод фазовой плоскости.

Метод фазовых траекторий представляет собой графо-аналитический способ исследования нелинейных систем. Сущность метода заключается в описании поведения систем при помощи наглядных геометрических представлений – фазовых портретов.

Свободное движение нелинейной динамической системы управления с одной управляемой величиной   в общем случае можно описать с помощью   дифференциальных уравнений первого порядка:

,

(8.2)

где   – фазовые переменные состояния.

Мгновенное состояние системы и ее дальнейшее поведение однозначно определены, если в данный момент времени   известны значения всех   переменных  . Эти значения можно рассматривать как координаты точки   в  -мерном пространстве, которое называется фазовым пространством.

Точку с координатами   называют изображающей точкой, а линию, по которой она перемещается при изменении состояния системы – фазовой траекторией.

Конкретной группе начальных условий   соответствует единственное решение системы (8.2) – определенная совокупность искомых функций времени  . Поэтому каждой группе начальных условий соответствует только одна начальная точка и единственная фазовая траектория, а множеству групп начальных условий соответствует семейство траекторий, которое называется фазовым портретом системы.

Метод фазового пространства наиболее удобен для анализа систем второго порядка, так как фазовые траектории располагаются в одной плоскости – в фазовой плоскости переменных   и  . Фазовый портрет этих систем можно построить непосредственно по дифференциальному уравнению, не решая его.

Пусть описание системы представлено в виде системы двух уравнений первого порядка:

(8.3)

где   – отклонение выходной величины или сигнала ошибки от установившегося значения.

Если в качестве второй переменной состояния   принята производная переменной  , т.е.  , то всегда функция .

Разделив второе уравнение системы (8.3) на первое, можно получить уравнение фазовых траекторий в дифференциальной форме:

,

(8.4)

в котором независимой переменной является величина   (не время  !), а зависимой –  .

Разделяя далее переменные   и   и интегрируя уравнение (8.4), получаем уравнение фазовых траекторий в явном виде:

,

(8.5)

где   – постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий.

Рассмотрим характерные фазовые траектории (рис. 8.4, б, г, е) системы второго порядка, соответствующие затухающему, расходящемуся и незатухающему колебательным процессам (рис. 8.4, а, в, д).

Рис. 8.4. Переходные процессы и фазовые траектории нелинейной системы

Моменты времени  , когда кривые   достигают своих максимумов и минимумов, соответствуют пересечению фазовыми траекториями  , а моменты прохождения кривыми   через нуль   – пересечению оси  .

Самые важные для анализа нелинейных систем свойства фазовых траекторий заключаются в следующем:

Неустойчивому процессу соответствует фазовая траектория, удаляющаяся от начала координат.

Периодическому процессу соответствует замкнутая фазовая траектория, называемая предельным циклом.

Фазовый портрет нелинейной системы, обладающей кусочно-линейной или разрывной характеристикой, состоит из нескольких областей с различными фазовыми траекториями. Линии, отделяющие на плоскости одну область от другой, называются линиями переключения.

В точках пересечения фазовыми траекториями линий переключения происходит излом траекторий. Это происходит из-за смены правой части уравнения (8.4).