- •20 Понятие устойчивости.
- •21 Условия и критерии устойчивости.
- •22 Частотные критерии устойчивости.
- •23 Управляемость и наблюдаемость.
- •24 Идентифицируемость сау.
- •25 Методы оценки качества переходных процессов в сау по переходным характеристикам.
- •26 Корневые методы оценки качества переходных процессов в сау
- •27 Частотные методы оценки качества переходных процессов в сау
- •28 Интегральные оценки
- •29 Вычисление установившейся ошибки сау
- •30 Вычисление ошибки от задающих воздействий
- •31 Коэффициенты ошибки.
- •32 Ошибки влияния возмущения.
- •33. Критерий инвариантности сау.
- •34. Условия физической реализуемости инвариантных сау.
- •35. Способы создания инвариантных сау.
- •37. Функции чувствительности критериев качества.
- •38. Алгоритм синтеза сау.
- •39. Метод синтеза в.В. Солодовникова для следящих систем с астатизмом первого порядка.
- •40. Случайные процессы.
- •41. Корреляционный анализ случайных процессов.
- •42. Автокорреляционные и взаимно-корреляционные функции.
- •43. Спектральная теория случайных процессов.
- •44. Прохождение случайных процессов через линейную систему.
- •45. Использование микропроцессоров и микро-эвм в сау.
- •46. Принципы модуляции сигналов.
- •47. Амплитудно-импульсные системы.
- •48.Дискретное преобразование Лапласа.
- •50. Линейные разностные уравнения.
- •51. Свертка для импульсных систем.
- •52. Реакция импульсной системы на показательное возмущение.
- •53. Представление передаточной функции с помощью весовых множителей.
- •55. Условия устойчивости на -плоскости и при использовании -преобразования.
- •56. Анализ и синтез систем управления с эвм.
- •57 Программная реализация алгоритмов управления.
- •58 Примеры нелинейных систем.
- •59 Особенности описания нелинейных элементов.
- •60 Многообразие установившихся вынужденных и автономных режимов.
- •61 Метод фазовой плоскости.
- •62 Гармоническая линеаризация.
- •63 Метод гармонического баланса.
42. Автокорреляционные и взаимно-корреляционные функции.
Взаимная корреляционная функция для двух случайных величин и :
, (13)
Если взаимная корреляционная функция отлична от нуля, то и носят название коррелированных случайных функций.
Для стационарного процесса корреляционные функции и не зависят от текущего значения времени и определяются только временным сдвигом .
Для стационарного процесса корреляционная функция определяет зависимость случайной величины в последующий момент времени от предшествующего значения в момент .
Основные свойства КФ стационарного процесса применительно к величине .
1. Корреляционная функция является четной функцией, т. е. .
2. При КФ функция дает средний квадрат случайной величины:
.
3. При величины и можно считать независимыми и КФ дает квадрат среднего значения СВ
.
4. Значение КФ при является ее наибольшим значением, т. е. имеет место неравенство .
5. Значение КФ будет тем меньше, чем больше промежутки времени , так как связь между далеко отстоящими друг от друга значениями будет обычно слабее.
6. Чем более подвижен объект наблюдения (менее инерционен), тем быстрее убывает с увеличением .
КФ можно найти на основании экспериментально снятой кривой случайного процесса достаточно длительной записи
КФ можно найти по результатам эксперимента также при помощи специальных приборов - корреляторов, которые автоматически вычисляют среднее произведение двух ординат осциллограммы, отстоящих друг от друга на расстояние .
43. Спектральная теория случайных процессов.
Рассмотрим так называемую энергетическую форму интеграла Фурье.
формула Релея (теорема Парсеваля), которая соответствует энергетической форме интеграла Фурье:
(5)
Подставляя , получим
(6)
Удобнее иметь дело не с энергией, а со средней мощностью процесса, которая будет получена, если энергию поделить на интервал наблюдения. Тогда формулу (5) можно представить в виде
(7)
Правая часть (7) представляет собой средний квадрат рассматриваемой величины х(t). Введем обозначение
, (8)
можно переписать формулу (7) в виде
(9)
или в виде
(10)
где или - спектральная плотность.
Важным свойством спектральной плотности является то, что интегрирование ее по всем частотам от до дает средний квадрат исходной функции времени х(t).
Физический смысл спектральной плотности – это величина, которая пропорциональна средней мощности процесса в интервале частот от до .
Спектральная плотность и корреляционная функция случайных процессов представляют собой взаимные преобразования Фурье, т. е. они связаны интегральными зависимостями:
; (11)
. (12)
Обычно спектральная плотность вычисляется по известной корреляционной функции при помощи формул (11). Эти формулы соответствуют так называемому двустороннему преобразованию Фурье четной функции времени .
Нормированная спектральная плотность является изображением Фурье нормированной корреляционной функции:
, (13 )
где - спектральная плотность соответствует процессу и, следовательно,
(14)
где - дисперсия.
Взаимные спектральные плотности и являются изображениями Фурье и .
Рассмотрим некоторые стационарные случайные процессы, обладающие следующими свойствами: математическое ожидание равно нулю , а дисперсия . При этом средний квадрат случайной величины будет равен дисперсии: , а .
1. Белый шум. Под белым шумом понимается случайный процесс, имеющий «белый» спектр, т. е. одинаковое значение спектральной плотности при всех частотах от до (рис. 1):
Примером такого процесса могут являться тепловые шумы сопротивления, которые дают уровень спектральной плотности хаотического напряжения на этом сопротивлении.
Рис. 1
2. Типовой входной сигнал следящей системы представлен на рис. 2. Скорость сохраняет постоянное значение в течение некоторых интервалов времени . Переход от одного значения к другому совершается мгновенно. Интервалы времени подчиняются закону распределения Пуассона, математическое ожидание , а средний квадрат скорости равен дисперсии, т. е. .
Среднее число перемен скорости за одну секунду- .
Среднее значение интервала времени, в течение которого угловая скорость сохраняет постоянное значение-
Для определения корреляционной функции необходимо найти среднее значение произведения
.
При нахождении этого произведения могут быть два случая.
1. Моменты времени относятся к одному интервалу. Тогда среднее значение произведения угловых скоростей будет равно среднему квадрату угловой скорости или дисперсии:
.
2. Моменты времени относятся к разным интервалам. Тогда среднее значение произведения скоростей будет равно нулю:
,
так как произведения с положительным и отрицательным знаками будут равновероятными.
Корреляционная функция будет равна
где - вероятность нахождения моментов времени в одном интервале,
а - вероятность нахождения их в разных интервалах.
Устремив и переходя к пределу, получим
и окончательно . (15)
Спектральная плотность рассматриваемого процесса равна:
. (16)
3. Нерегулярная качка. Корабли, самолеты и другие объекты, находясь под действием нерегулярных возмущений (нерегулярное волнение, атмосферные возмущения и т. п.), движутся по случайному закону. Так как сами объекты имеют определенную, им свойственную, частоту колебаний, то они обладают свойством подчеркивать те частоты возмущений, которые близки к их собственной частоте колебаний. Получающееся при этом случайное движение объекта называют нерегулярной качкой в отличие от регулярной качки, представляющей собой периодическое движение.
Корреляционную функцию нерегулярной качки часто аппроксимируют выражением , а соответствующая спектральная плотность
где - дисперсия для угла, , .
При такой аппроксимации дисперсия для угловой скорости получается конечной: .