26 Корневые методы оценки качества переходных процессов в сау

Этот метод базируется на наложении определенных условий на расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости.

 Пусть имеется характеристическое уравнение системы регулирования:

(1)

 Если являются корнями этого уравнения, а переменная характеризует процесс регулирования, то, как известно,

(2)

 Требуется написать условия, при которых бы величина за время Т стала равной начального значения. Таким образом косвенно (приближенно) задаётся время стабилизации переходного процесса.

В этом случае все корни уравнения (1) должны удовлетворять не только условиям устойчивости, но и иметь отрицательную вещественную часть по абсолютному значению не меньше некоторой величины .

 Эта величина ближайшего к мнимой оси корня находится из соотношения:

Откуда, логарифмируя, получим: (3)

 Следовательно, чтобы отклонение параметра регулирования уменьшилось за время Т в m раз, нужно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости на расстоянии, равном или большем от мнимой оси.

 Введем в характеристическое уравнение новую переменную z, равную:

(4)

 Для переменной z мнимая ось сдвинута влево на величину .

Тогда преобразованное характеристическое уравнение будет иметь вид

(5)

 Каждая степень разности уравнения (5) может быть раскрыта по формуле бинома Ньютона в следующем виде:

(6)

 Если для уравнения (5) будут соблюдены условия Гурвица, то затухание будет не менее заданного. При этом заметим, что точность расчета увеличивается, если постоянные интегрирования (2) оказываются соизмеримыми.

27 Частотные методы оценки качества переходных процессов в сау

Допустим, что выходной сигнал следящей системы в любой момент времени точно копирует входной. Тогда передаточная функция замкнутой системы , и соответствующая амплитудно-фазовая характеристика также равна единице: . Следовательно, амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики соответственно будут равны: .

Другими словами, на всех частотах вынужденных колебаний амплитуда выходного сигнала равна амплитуде входного и сдвиг фаз между ними равен нулю (рис. 1, а). Однако равенство может выполняться лишь в идеальном случае, если все элементы системы безынерционны. Поэтому ввиду инерционности системы, которая отражается постоянными времени ее звеньев, амплитудная и фазовая частотные характеристики замкнутой системы обычно имеют вид, приведенный на рис. 1, б.

В этом случае условия и выполняются на небольшом участке малых частот (заштрихованный участок на рис. 1, б). На резонансной частоте амплитудная характеристика имеет максимум . При дальнейшем увеличении частоты система вследствие своей инерционности не успевает реагировать на колебания больших частот, и резко падает. Фазовая частотная характеристика отрицательна. Следовательно, выходной сигнал отстает по фазе от входного. По своим частотным свойствам следящая система может быть отнесена к классу фильтров нижних частот, которые хорошо пропускают колебания малых частот и плохо — больших.

У становлено, что чем больше , тем более колебательным является переходный процесс. Поэтому отношение называют показателем колебательности - показатель колебательности ( - отношение максимального значения амплитудной частотной характеристики к ее значению при ).

Для следящих систем , поэтому . Обычно . При малых система «вялая» и имеет большое время регулирования. При больших увеличивается перерегулирование, и система приближается к границе устойчивости.

 Кроме частоты характерными частотами амплитудно-частотной характеристики являются . Частота называется частотой среза замкнутой системы и определяется на уровне (частота среза - частота, при которой ). Для следящих систем частота определяет диапазон частот вынужденных колебаний, которые пропускает система без ослабления. На этой частоте амплитуды входного и выходного колебаний равны между собой.

 Частота называется полосой пропускания замкнутой системы и определяется на уровне (полоса пропускания - это интервал частот от до , при котором соблюдается условие: ).

 Так как в диапазоне частот амплитудная характеристика резко падает, то числовые значения частот близки друг к другу.

 Полоса пропускания влияет на точность и быстродействие системы. С увеличением полосы пропускания быстродействие системы увеличивается. Чем больше полоса пропускания, тем больший спектр входного сигнала передается системой без искажений. Следовательно, точность отработки входного сигнала повышается. Однако, при наличии высокочастотных помех во входном сигнале САУ одинаково хорошо пропускаются и сигналы и помехи.

 Резонансная частота системы - частота, при которой амплитудная характеристика имеет максимальное значение.

 Таким образом, показатель колебательности и полоса пропускания являются косвенными показателями качества переходного процесса.