Показатели формы распределения (центральные моменты, показатели асимметрии, показатель эксцесса).
Моменты распределения. Понятия математического ожидания и дисперсии являются частными случаями более общего понятия для числовых характеристик случайных величин – моментов распределения. Моменты распределения случайной величины вводятся как математические ожидания некоторых простейших функций от случайной величины. Так, моментом порядка k относительно точки х0 называется математическое ожидание М ( Х – х0)k . Моменты относительно начала координат х = 0 называются начальными моментами и обозначаются:
Центральные моменты не зависят от начала отсчета значений случайной величины, так как при сдвиге на постоянное значение С ее центр распределения сдвигается на то же значение С, а отклонение от центра не меняется: Х – m = (Х – С) – (m – С).
Дисперсия – это центральный момент второго порядка:
Асимметрия. Центральный момент третьего порядка: служит для оценки асимметрии распределения. Если распределение симметрично относительно точки х = m, то центральный момент третьего порядка будет равен нулю (как и все центральные моменты нечетных порядков). Поэтому, если центральный момент третьего порядка отличен от нуля, то распределение не может быть симметричным. Величину асимметрии оценивают с помощью безразмерного коэффициента асимметрии:
Знак коэффициента асимметрии (18) указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию (рис. 2).
Эксцесс. Центральный момент четвертого порядка: служит для оценки так называемого эксцесса, определяющего степень крутости (островершинности) кривой распределения вблизи центра распределения по отношению к кривой нормального распределения. Так как для нормального распределения, то в качестве эксцесса принимается величина:
Для нормального распределения Е = 0. Кривые, более островершинные, чем нормальная, имеют положительный эксцесс, более плосковершинные – отрицательный.
Асимметрия.
Эксцесс
.
Асимметрия НР=0 и Эксцесс=0
Более вытянутая вершина графика эксцесс >0, более пологий график эксцесс<0
6.4. Z-распределение
Стандартное нормальное распределение используется при проверке различных гипотез, в том числе о среднем значении, о различии между двумя средними и о пропорциональности значений. Оно имеет среднее 0 и стандартное отклонение 1.
Значения, приведенные в таблице, представляют собой величину площади под стандартной нормальной (гауссовой) кривой от 0 до соответствующего z-значения, как показано на следующем рисунке. Например, величина этой площади между значениями 0 и 2.36 показана в ячейке, находящейся на пересечении строки 2.30 и столбца 0.06, и составляет 0.4909. Значение площади между 0 и отрицательным значением находится на пересечении строки и столбца, которые в сумме соответствуют абсолютному значению заданной величины. Например, площадь под кривой от -1.3 до 0 равна площади под кривой между 1.3 и 0, поэтому ее значение находится на пересечении строки 1.3 и столбца 0.00 (и составляет 0.4032).
Стандартизованные значения (Z-значения)
Стандартизованная (Стандартная) теоретическая кривая НР:
Кривая НР симметрична относительно вертикальной оси.
Таблица нормального распределения = таблица Z-значений
6.5. Стандартная ошибка среднего (простая, для малой ГС, для стратифицированной выборки)
Стандартная ошибка среднего: Указывает, насколько среднее выборки
отличается от среднего генеральной совокупности μ
при определении доверительных интервалов исследуемого показателя в генеральной совокупности или при нахождении вероятности допуска той или иной ошибки необходимо использовать таблицы вероятности Стьюдента, где Р = S (t, n), при этом Р определяется в зависимости от объема выборки и t.
обычно другой возможности оценить SE просто нет. Утешением служит тот факт, что
изменчивость выборочных СО обычно ниже, чем изменчивость выборочных средних, так
что наблюдаемое выборочное СО, скорее, является достаточно хорошей оценкой
генерального (при условии, что выборка достаточно велика и осуществлена методом
случайного отбора).
Теперь - как вычисляется sX? В простой случайной выборке несмещённую оценку
генерального стандартного отклонения даёт выборочное стандартное отклонение, но со
знаменателем n-1 вместо обычного n:
В стратифицированной выборке требуется взвешенное среднее стандартных отклонений в
каждой страте
, подсчитанных относительно среднего в каждой страте вместо
использования общего среднего. Полагая, что каждая страта репрезентирует долю fk
генеральной совокупности и составляет долю gk в выборке, оценка генерального
стандартного отклонения есть среднее стандартных отклонений, вычисленных по всем
стратам, взвешенное по доли страт в генеральной совокупности (fk).
Полученная в результате взвешивания результатов выборки оценка генерального
стандартного отклонения и должна быть использована затем в выражении (9) для оценки
стандартной ошибки среднего по стратифицированной выборке . Выборочное среднее, в
свою очередь, также рассчитывается как взвешенное среднее по выборочным средним из
разных страт. Таким образом, в случае стратифицированной выборки оценка стандартной
ошибки и доверительных интервалов зависит от доли страт в генеральной совокупности, а
также от размера выборки (n). Если средние в разных стратах различаются, SE по
стратифицированной выборке объёма n будет меньше, чем по простой случайной выборке
того же объёма.