10(3) Основные логические операции

При обработке информации приходится находить решения логических задач. Пусть, например, для нормальной работы сложного устройства параметры S_i процессов в устройстве должны лежать в допустимых границах:

M_i≤ S_i ≤N_i (i=1, 2, ..., т).

Тогда задача контроля работы устройства сводится: 1) к измерению т параметров S_i; 2) к сопоставлению измеренных значений с допустимыми границами; 3) к принятию решения, работает устройство нормально или нет. Если все параметры находятся в заданных границах, то делается логическое заключение о нормальной работе устройства; в противном случае делается логическое заключение о нарушении нормальной работы устройства. При небольшом числе контролируемых параметров с решением такой логической задачи справляется один оператор. При большом их числе (например, т > 10) для этой цели применяют разнообразные автоматические устройства — в основном цифровые автоматы (информационно-логические машины).

2. Рассмотренный пример можно перевести на язык событий. Если параметр S_i удовлетворяет неравенствам (1), то говорят о наступлении события A_i; в противном случае говорят, что событие A_i не наступило. Если все события A_i наступают одновременно, то делается логическое заключение о нормальной работе устройства. Если хотя бы одно из событий A_i не наступило, то делается обратное логичекое заключение. Определив, какое из событий A_i не наступило, можно установить, в каком элементе устройства имеется неисправность.

Наряду с исходными событиями A_i рассматривают также событие В, которое наступает при условии нормальной ра­боты устройства и не наступает — в противном случае.

3. Особенностью событий A_i и В является то, что они имеют только два исхода: эти события либо наступают, ли­бо нет. Поэтому полезно поставить в соответствие таким событиям переменные x_i→ A_i и у → В, которые принимают два значения: 1 при наступлении события и 0 в противном случае; эти переменные называются логическими. Решение логической задачи заключается в выполнении некоторых логических операций над переменными x_i(i = 1,2, ..., т), позволяющих определить значение переменной у. В общем случае эти операции выражаются функциональной зависимостью

которая называется логической или переключательной функцией.

Для рассмотренного выше примера логическая функция выражается произведением всех логических переменных

В самом деле, если все события A_i наступили (все парамет­ры S_i находятся в допускаемых границах), то все х_i = 1 и произведение у = 1, что соответствует наступлению со­бытия В (устройство работает нормально). Если хотя бы одна из переменных x_t = 0, то у = 0, т. е. событие В не на­ступило (устройство работает ненормально).

4. В рассмотренном примере событие A_i заключается в том, что некоторая физическая величина принимает оп­ределенные численные значения. При решении ло­гических задач приходится также оперировать с событиями, которые связаны с наличием или отсутствием качест­венных признаков объектов, процессов и т. п. В общем случае при обработке информации приходится иметь дело со сложными логическими функциями. Законы выполнения логических операций над логическими переменными рас­сматриваются в алгебре Буля. Можно доказать, что любое сложное логическое преобразование можно произвести, используя три элементарные логические операции: логическое отрицание (логическое НЕ), логическое сложение (логи­ческое ИЛИ) и логическое умножение (логическое И).

5. Логическим отрицанием события А называется событие В, противоположное событию А. Эту операцию записывают в виде:

В = . Черта над А означает отрицание события А ( — НЕ А). Иначе говоря, при наступлении события А (х = 1) событие В = не наступает. Наоборот, отсутствию события А (х = 0) соответствует наступление события В = (у =1).

Для наглядного пояснения смысла логической операции пользуются таблицами соответствия значений входных логических переменных (x) и выходной логической пе­ременной (у). Такие таблицы называются таблицами истинности. Для операции НЕ таблица истинности имеет вид табл 1.

6. Логической суммой событий A_i (i = 1, 2… т) называется событие В, которое состоит в наступлении ИЛИ собы­тия А₁ ИЛИ события А₂, ..., ИЛИ собы­тия А_т, ИЛИ нескольких различных со­бытий A_i одновременно. Логическое сложение называется также дизъюнкцией (объединением) и в буле­вой алгебре обозначается символом V. В тех же случаях, когда логическое и алгебраическое сложения не сопутствуют друг другу, для логического сложения применяют знак + и записывают опе­рацию логического сложения в виде

Таблица истинности для операции ИЛИ при т = 3 иллюстри­руется табл. 2.

Из табл. 2 видно, что операция ИЛИ представляет собой опера­цию сборки информации из разных источников и ее объединение в один канал.

7. Логическим произведением событий A_i (i = 1, 2, ..., т)

называется событие В, которое состоит в одновременном наступле­нии всех событий A_i(т. е. И А₁, И А₂, ..., И А _m) Если хотя бы одно из событий A_i не наступает (х_i = 0), то и событие В не наступает (y= 0). Поэтому операцию логического умножения называют опе­рацией совпадения. В алгебре логики такая операция, называемая конъюнкцией (пересечением), обозначается символом ^ или спе­циальным символом (см. рис. 1), но чаще она записывается в виде

Таблица истинности для операции И иллюстрируется табл. 2.

ПРОСТЕЙШИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ИЛИ, И, НЕ

В этом и последующих параграфах данной главы рассматривается элементная база цифровых устройств, которую составля­ют выпускаемые промышленностью интегральные микросхемы.

Совокупность элементов ИЛИ, И, НЕ представляет функционально полную систему (базис), т. е. этими элементами может быть реализована любая логическая функция.

В данном параграфе описываются диодные логические элемен­ты ИЛИ и И, а также логический элемент НЕ на ключе-инверторе.

Диодный логический элемент ИЛИ. На выходе элемента ИЛИ (дизъюнктора) должна быть 1, если хотя бы на одном входе присутствует 1. Для этого надо, чтобы 1, появившаяся на выхо­де, препятствовала поступлению туда 0 с другого входа.

В схеме рис. 3.24, а это достигается тем, что высокий потенци­ал (логическая 1) на одном из входов через открытый диод почти целиком выделяется на резисторе R и запирает со стороны катода тот диод, на анод которого со входа поступает низкий уровень логического 0.

На выходе элемента (рис. 3.24, а) будет логическая 1, если на первом входе или на втором входе, или на обоих входах одновре­менно будут логические 1. Условное изображение двухвходового дизъюнктора приведено на рис. 3.24, б.

Диодный логический элемент И. На выходе элемента И (конъюнктора) должен быть 0, если он присутствует хотя бы на одном входе. Для этого надо, чтобы 0, появившись на выходе, препятствовал поступлению туда 1 с другого входа.

В схеме рис. 3.25, а это достигается тем, что низкий потенциал U⁰ (логический 0) поступает со входа через отпертый диод на

выход и запирает тот диод, к катоду которого со входа приложен высокий потенциал U¹ (логическая 1).

Напряжение источника превышает потенциал U¹. Поэтому, когда на всех входах действуют логические 1, диоды открыты и на выход элемента с его входов передается потенциал U¹ — логическая 1. На выходе элемента (рис. 3.25, а) будет логическая 1, если на первом входе И на втором входе будут логические 1.

Условное изображение двухвходового конъюнктора приведе­но на рис. 3.25, б.

Логический элемент НЕ. Элемент НЕ (инвертор) должен ин­вертировать логический сигнал: логическая 1 на входе (соответ­ствующая, к примеру, высокому потенциалу) должна обеспечи­вать логический 0 (низкий потенциал) на выходе, и наоборот.

Как известно, подобным свойством обладает ключевой ка­скад с общим эмиттером (рис. 3.26, а) или с общим истоком (рис. 3.26, б). Так, если на базу биполярного кремниевого транзистора л-р-л-типа (рис. 3.26, а) воздействует положительное напряжение достаточной величины (логическая 1), то коллекторный ток до­стигает значения тока насыщения, а напряжение на коллекторе снижается до значения, близкого к нулю. При воздействии на базу небольшого положитель­ного напряжения (логического 0) кремниевый транзистор прак­тически заперт. Условное изображение инвертора приведено на рис. 3.26, в.