- •Раздел 1:Основы дифференциальной геометрии §1. Векторные функции скалярного аргумента. Предел, непрерывность, производная и интеграл Римана вектор-функции.
- •§2. Кривые в пространстве, длина дуги кривой.
- •§3. Естественный трехгранник линий. Кривизна кривой. Физический смысл кривизны.
- •§4. Формулы Френе. Кручение кривой. Физический смысл кручения.
- •§5. Вычисление кривизны и кручения
- •§6. Параметрические уравнения поверхности. Координатные линии. Касательные векторы гладкой поверхности.
- •§7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •§8. Первая квадратичная форма поверхности
- •§9. Площадь поверхности
- •§10. Поверхностный интеграл первого рода: определение, физический смысл, теорема о среднем.
- •§11.Поверхностный интеграл первого рода: теорема о существовании. §12. Поверхностные интегралы второго рода
- •§13.Вычисление поверхностных интегралов второго рода
- •§14. Формула Остроградского-Гаусса
- •§15. Криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой. Вычисление. Примеры. §16. Формула Стокса
- •§17. Теорема о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •Раздел 2: Теория поля §18. Определение скалярного поля. Примеры. Поверхность уровня, производная по направлению, градиент.
- •§19. Определение векторного поля. Примеры. Векторные линии, векторные поверхности, векторные трубки.
- •§20. Поток векторного поля. Дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме.
- •§21. Циркуляция и завихренность векторного поля. Ротор. Формула Стокса в векторной форме.
- •§22. Оператор Гамильтона
- •§23. Потенциальные поля.
- •§24. Соленоидальные поля
- •§25.Ортогональные криволинейные системы координат. Координатные линии и поверхности. Параметры Ламе.
- •§26 .Сферическая и цилиндрическая системы координат: координатные линии, параметры Ламе.
- •1) Цилиндрическая система координат.
- •2) Сферическая система координат.
- •§27.Вычисление градиента и дивергенции в криволинейных координатах
- •§28. Вычисление ротора и оператора Лапласа в криволинейных координатах.
- •§Доп. Дифференциальные операции второго порядка.
- •Раздел 3: Ряды Фурье §29.Ряд Фурье по ортонормированной системе функций, минимальное свойство частичной суммы ряда Фурье, неравенство Бесселя.
- •§30.Тригонометрические ряды Фурье. Ядро Дирихле.
- •§31. Основная лемма теории тригонометрический рядов Фурье.
- •§32. Теорема о представлении кусочно-дифференцируемой функции рядом Фурье
- •§33. Разложение непериодической функции в ряд Фурье на отрезке [-р;р] и [-l; l].
- •§34. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье, разложение по косинусам и синусам. Примеры.
- •§35. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье.
- •§36. Замкнутость и полнота ортогональной системы функций
- •§37. Интеграл Фурье
- •§ 38. Преобразования Фурье
§26 .Сферическая и цилиндрическая системы координат: координатные линии, параметры Ламе.
1) Цилиндрическая система координат.
,
где , , .
Найдём координатные линии данной системы координат.
а) Координатная линия :
.
В результате мы получили луч, выходящий из оси и лежащий в плоскости, пересекающей ось в точке и параллельной плоскости (см. рис. 26).
б) Координатная линия :
.
В результате мы получили окружность радиуса , параллельную плоскости , и лежащую в плоскости, пересекающей ось в точке и параллельной плоскости (см. рис. 27).
в) Координатная линия :
.
В результате мы получили прямую, параллельную оси , проходящую через точку (см. рис. 28).
Очевидно, что все координатные линии перпендикулярны. Следовательно цилиндрическая система координат – ортогональная.
Найдём коэффициенты Ламе:
,
.
В последнем выражении видно, что , то есть изменение координатной линии происходит пропорционально расстоянию от оси .
.
Из данного выражения следует, что , то есть изменение координаты по оси вызывает такое же изменение координатной линии.
Якобиан цилиндрической системы координат:
.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) Сферическая система координат.
,
где , , .
Найдём координатные линии данной системы координат.
а) Координатная линия :
.
В результате мы получили луч, выходящий из точки и проходящий через точку (см. рис. 29).
б) Координатная линия :
.
В результате мы получили окружность радиуса , параллельную плоскости и пересекающую ось в точке (см. рис.).
в) Координатная линия :
.
В результате мы получили полуокружность радиуса с осью, лежащей на оси . Эта окружность пересекает плоскость в точке (см. рис. 31).
О чевидно, что все координатные линии перпендикулярны. Следовательно, сферическая система координат – ортогональная.
Найдём коэффициенты Ламе:
,
,
.
Якобиан сферической системы координат:
.
§27.Вычисление градиента и дивергенции в криволинейных координатах
1. Градиент.
По определению градиент – это вектор. Найдём проекции этого вектора на некоторый локальный базис. Обозначим , , - касательные единичные векторы к координатным линиям , , , причём ..
Очевидно, что - есть производная функции . Следовательно, имеем:
.
Таким образом, мы получили выражение для градиента в криволинейной системе координат:
.
2. Дивергенция.
По определению дивергенция есть:
,
г де - объём тела, ограниченного поверхностью . Возьмём в качестве поверхности участки координатных поверхностей, ограничивающие бесконечно малый параллелепипед, одной из вершин которого является точка (см. рис. 32). В данном случае . (1) Вершины параллелепипеда имеют координаты:
, , , , , .
Обозначим единичные векторы - касательные к координатным линиям в точке - , , . Поток векторного поля через грань равен:
,
где , а нормальный вектор равен .
Следовательно:
. (1`)
Поток векторного поля через противоположную грань :
,
где . Следовательно, получаем:
. (2)
Суммируя (1`) и (2) получаем:
.
(3)
- это поток векторного поля через две противоположные грани и .
Аналогично можно получить поток векторного поля через грани и :
. (4)
Поток векторного поля через грани и :
. (5)
Складывая выражения (3), (4), (5) получаем поток векторного поля через всю поверхность параллелепипеда:
. (6)
Согласно определению дивергенции (§19) имеем:
, (7)
то есть, это предел, при котором поверхность стягивается в точку . Подставляя (1`), (6) в (7) получаем:
.
Окончательно получаем:
.