§11.Поверхностный интеграл первого рода: теорема о существовании. §12. Поверхностные интегралы второго рода

Регулярная поверхность называется односторонней, если на ней можно выбрать замкнутую линию, при обходе которой единичный вектор нормали меняет направление на противоположное. Все остальные поверхности называются двухсторонними.Примеры односторонних поверхностей:

бутылка Клейна (у бутылки отрезается дно, и горло вставляется в дно шиворот-навыворот

Примеры двухсторонних поверхностей:

, где .

Далее мы будем рассматривать только двухсторонние поверхности.

Рассмотрим двухстороннюю поверхность , и будем считать, что она является регулярной. Пусть она помещена в объём стационарно текущей жидкости со скоростью , причём:

и .

Требуется определить, какое количество жидкости протекает через поверхность в данном направлении за единицу времени.

Разобьём поверхность на элементарные участки , площадь которых . Обозначим - единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности в некоторой точке . Будем считать, что в каждой точке скорость течения жидкости равна (то есть, вычислена в точке ). Количество жидкости, протекающее через площадку за единицу времени, численно равно объёму призмы, основанием которой является площадь , а ребром – вектор (см. рис. 16).

Следовательно, мы получили на поверхности обычную скалярную функцию. Переходя к пределу при получаем двойной интеграл:

причём здесь вектор зависит от формы поверхности.

Пусть в некоторой области определена векторная функция :

и S – регулярная двухстороння поверхность, содержащаяся в .

Поверхностным интегралом второго рода векторной функции , через поверхность S, называют поверхностный интеграл первого рода от функции , где - единичный вектор нормали, вычисленный в каждой точке к заданной стороне поверхности.