§32. Теорема о представлении кусочно-дифференци­руемой функции рядом Фурье

Функция называется кусочно-дифференцируемой на отрезке , если она кусочно-непрерывная, и при этом в каждой точке непрерывности существуют право- и левосторонние производные, при чём производная функция имеет конечное число разрывов первого рода.

Теорема. Пусть функция -периодическая и кусочно-дифференцируемая на отрезке . Тогда ряд Фурье функции сходится в каждой точке, и его сумма равна:

.

Доказательство.

Рассмотрим функцию . Её ряд Фурье равен единице. Поэтому и любая частичная сумма этого ряда также равна единице. Следовательно, интеграл Дирихле имеет вид:

.

Очевидно, что . Следовательно, для любого интеграл Дирихле будет равен единице:

(1)

Умножая (1) на , получаем:

(2)

Вычитая (2) из n-ной частичной суммы (выражение (5) из §29) ряда Фурье функции , получаем:

,

где . (3)

Функция является кусочно-непрерывной на полуинтервале , так как в числителе функция при кусочно-непрерывная, а в знаменателе только при . Исследуем поведение функции в этой точке. Умножая и деля выражение (3) на , имеем:

.

Рассмотрим поведение функции при . Имеем:

,

,

.

Доопределив функцию в точке значением , мы получим, что функция кусочно-непрерывная на отрезке . Тогда из основной леммы следует, что:

.

Следовательно, , что и требовалось доказать.

§33. Разложение непериодической функции в ряд Фурье на отрезке [-р;р] и [-l; l].

1-й случай.

Пусть функция задана на отрезке . Построим -периодическую функцию , которая совпадает с функцией на отрезке . Если функция кусочно-дифференцируемая на отрезке , то её ряд Фурье будет сходиться в каждой точке и его сумма равна:

,

причём .

Пример:

П усть дана следующая функция: . График этой функции имеет следующий вид:

Построим ряд Фурье для данной функции. Найдём коэффициенты :

;

,

то есть, если - чётное число, если - нечётное, или , ;

.

Окончательно получаем ряд Фурье для функции :

.

Построим график для этого ряда:

2-й случай.

Функция задана на отрезке . Положим . Очевидно, что . Обозначим функцию , такую, что . Следовательно, функция будет задана на отрезке . Ряд Фурье для этой функции имеет вид:

,

где , , . Так как и , имеем:

,

где , , . Окончательно, ряд Фурье для функции , заданной на отрезке , имеет вид:

.

§34. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье, разложение по косинусам и синусам. Примеры.

Пусть задана чётная функция на отрезке . Запишем коэффициенты Фурье для этой функции:

,

,

.

Так как коэффициент является интегралом в симметричных пределах от нечётной функции (так как синус – нечётная функция и произведение чётной и нечётной функции есть нечётная функция), то . Следовательно, ряд Фурье для данной функции имеет вид:

. (1)

Пусть задана нечётная функция на отрезке . Запишем коэффициенты Фурье для этой функции:

, (2)

, (3)

. (4)

Аналогично рассмотренному выше случаю, имеем:

. (5)

Если функция задана на промежутке , то её можно разложить на этих промежутках только по синусам и только по косинусам. Чтобы разложить функцию только по синусам, её следует продолжить нечётным образом на промежуток . Для данной функции будем иметь разложение (5) с коэффициентами (4). Чтобы разложить функцию только по косинусам, необходимо продолжить функцию на промежуток чётным образом. Тогда мы получим разложение (1) с коэффициентами (2) и (3).