- •Раздел 1:Основы дифференциальной геометрии §1. Векторные функции скалярного аргумента. Предел, непрерывность, производная и интеграл Римана вектор-функции.
- •§2. Кривые в пространстве, длина дуги кривой.
- •§3. Естественный трехгранник линий. Кривизна кривой. Физический смысл кривизны.
- •§4. Формулы Френе. Кручение кривой. Физический смысл кручения.
- •§5. Вычисление кривизны и кручения
- •§6. Параметрические уравнения поверхности. Координатные линии. Касательные векторы гладкой поверхности.
- •§7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •§8. Первая квадратичная форма поверхности
- •§9. Площадь поверхности
- •§10. Поверхностный интеграл первого рода: определение, физический смысл, теорема о среднем.
- •§11.Поверхностный интеграл первого рода: теорема о существовании. §12. Поверхностные интегралы второго рода
- •§13.Вычисление поверхностных интегралов второго рода
- •§14. Формула Остроградского-Гаусса
- •§15. Криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой. Вычисление. Примеры. §16. Формула Стокса
- •§17. Теорема о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •Раздел 2: Теория поля §18. Определение скалярного поля. Примеры. Поверхность уровня, производная по направлению, градиент.
- •§19. Определение векторного поля. Примеры. Векторные линии, векторные поверхности, векторные трубки.
- •§20. Поток векторного поля. Дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме.
- •§21. Циркуляция и завихренность векторного поля. Ротор. Формула Стокса в векторной форме.
- •§22. Оператор Гамильтона
- •§23. Потенциальные поля.
- •§24. Соленоидальные поля
- •§25.Ортогональные криволинейные системы координат. Координатные линии и поверхности. Параметры Ламе.
- •§26 .Сферическая и цилиндрическая системы координат: координатные линии, параметры Ламе.
- •1) Цилиндрическая система координат.
- •2) Сферическая система координат.
- •§27.Вычисление градиента и дивергенции в криволинейных координатах
- •§28. Вычисление ротора и оператора Лапласа в криволинейных координатах.
- •§Доп. Дифференциальные операции второго порядка.
- •Раздел 3: Ряды Фурье §29.Ряд Фурье по ортонормированной системе функций, минимальное свойство частичной суммы ряда Фурье, неравенство Бесселя.
- •§30.Тригонометрические ряды Фурье. Ядро Дирихле.
- •§31. Основная лемма теории тригонометрический рядов Фурье.
- •§32. Теорема о представлении кусочно-дифференцируемой функции рядом Фурье
- •§33. Разложение непериодической функции в ряд Фурье на отрезке [-р;р] и [-l; l].
- •§34. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье, разложение по косинусам и синусам. Примеры.
- •§35. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье.
- •§36. Замкнутость и полнота ортогональной системы функций
- •§37. Интеграл Фурье
- •§ 38. Преобразования Фурье
§28. Вычисление ротора и оператора Лапласа в криволинейных координатах.
3. Оператор Лапласа.
.
Если , то:
, , . (9)
Подставляя (9) в (8), получаем:
. (10)
Оператор Лапласа в цилиндрической системе координат.
В §25 мы доказали, что для цилиндрической системы координат , , . Согласно выражению (10) получаем:
.
Оператор Лапласа в сферической системе координат.
Аналогично предыдущему случаю имеем:
, , ,
,
.
§Доп. Дифференциальные операции второго порядка.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство.
. (1)
Введём обозначение:
. (2)
Тогда из (1) имеем:
.
Оператор Лапласа может действовать не только на скалярные поля, но и на векторные. Согласно формуле (2):
.
Найдём ротор от ротора (используя формулы из §23):
.
Используя свойство 3 из параграфа 22, получаем (так как - константа, то её можно выносить за пределы оператора ):
. (3)
Так как , то из (3) получаем:
,
что и требовалось доказать.
Раздел 3: Ряды Фурье §29.Ряд Фурье по ортонормированной системе функций, минимальное свойство частичной суммы ряда Фурье, неравенство Бесселя.
В линейной алгебре было рассмотрено Евклидово пространство. Это линейное пространство, в котором определена симметричная билинейная форма, соответствующая которой квадратичная форма положительно определена. Далее скалярное произведение будем обозначать следующим образом:
.
Будем рассматривать пространство кусочно-непрерывных функций на отрезке , которое будем обозначать . Но будем рассматривать не все кусочно-непрерывные функции. Потребуем, чтобы наши функции удовлетворяли условию:
,
то есть значение функции в точке разрыва есть среднее арифметическое между соседними значениями (см. рис.). Можно также убедиться, что множество таких непрерывных функций образует линейное пространство.
Введём операцию скалярного произведения:
.
Линейное пространство называется нормированным, если всякому элементу , принадлежащему этому пространству, ставится в соответствие действительное число , причём:
1. , .
2. .
3. .
Если ввести, что , то Евклидово пространство становится нормированным.
Некоторая система функций называется ортогональной, если при и . Эта система называется ортонормированной, если .
Пример.
Система функций (1) - эта система функций является ортогональной на отрезке .
, , , при .
Аналогично при . Так же и при .
Систему функций (1) можно преобразовать в ортонормированную:
.
Рядом Фурье функции по ортонормированной системе функций (2) назовём ряд
, (3) где (4).
Обозначим - частичные суммы ряда Фурье, (5) - некоторые другие суммы.
Расстоянием или отклонением между функциями и назовём : .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Теорема. Наименьшее отклонение сумм (5) от функции даёт n-ная частная сумма ряда Фурье. (то есть при подстановке в (5) вместо получим наименьшее отклонение).
Доказательство.
Рассмотрим норму . Согласно данному выше определению нормы имеем:
.
Так как (это две одинаковые суммы, суммирование у которых происходит по разным индексам), то имеем:
.
Очевидно, что сумма будет минимальной, если ,что и требовалось доказать.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Следствие 1.
Для всякой ортонормированной системы функций и всякого имеет место неравенство:
, (6)
где - произвольные числа.
Доказательство вытекает из равенства
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Следствие 2.
Для всякой ортонормированной системы функций и кусочно-непрерывной функции , имеет место неравенство Бесселя:
, (7) где - коэффициенты Фурье функции .
Доказательство.
Из неравенства (6) имеем: (8)
Левые части неравенства (8) представляют собой частичные суммы ряда (9). Они образуют возрастающую последовательность, ограниченную сверху в силу неравенства (8). Следовательно, такая последовательность сходящаяся, следовательно ряд (9) сходится и его сумма не превосходит .